[论文解读] Projective spectrum and spectral dynamics

Bryan Goldberg, Rongwei Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2020

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

本文建立了自相似群表示与射影空间上多项式映射之间的动力联系，表明对于无限二面体群 $D_\infty$，诱导有理映射的 Julia 集恰好等于其射影谱与扩展非定域集的并集。此外，本文还刻画了在 Fatou 集上迭代序列的极限函数，提出了适用于 Grigorchuk 群的框架，并对其 Julia 集提出一个猜想。

ABSTRACT

For a tuple $A= (A_0, A_1, \ldots , A_n)$ of elements in a unital Banach algebra $\mathcal{B}$, its extit{projective (joint) spectrum} $p(A)$ is the collection of $z\in\mathbb{P}^{n}$ such that $A(z)=z_0A_0+z_1 A_1 + \ldots z_n A_n$ is not invertible. If the tuple $A$ is associated with the generators of a finitely generated group, then $p(A)$ is simply called the projective spectrum of the group. This paper investigates a connection between self-similar group representations and an induced polynomial map on the projective space that preserves the projective spectrum of the group. The focus is on two groups: the infinite dihedral group $D_\infty$ and the Grigorchuk group ${\mathcal G}$ of intermediate growth. The main theorem shows that for $D_\infty$ the Julia set of the induced rational map $F$ is equal to the union of the projective spectrum with the extended indeterminacy set. Moreover, the limit function of the iteration sequence $\{F^{\circ n}\}$ on the Fatou set is determined explicitly. The result has an application to the group ${\mathcal G}$ and gives rise to a conjecture about its associated Julia set.

研究动机与目标

• 研究自相似群表示在射影空间上诱导的有理映射的动力行为。
• 确定群的射影谱与关联有理映射的 Julia 集之间的关系。
• 刻画无限二面体群 $D_\infty$ 在 Fatou 集上迭代序列的极限函数。
• 将分析扩展至中等增长的 Grigorchuk 群，并对其 Julia 集提出一个猜想。

提出的方法

• 将单峰 Banach 代数中元组 $A = (A_0, \dots, A_n)$ 的射影联合谱 $p(A)$ 定义为所有满足 $A(z) = \sum z_i A_i$ 不可逆的 $z \in \mathbb{P}^n$ 的集合。
• 将有限生成群与一组生成元关联，以定义其射影谱。
• 由群的自相似表示构造射影空间 $\mathbb{P}^n$ 上的有理映射 $F$。
• 通过研究其 Julia 集、非定域集以及迭代序列 $\{F^{\circ n}\}$ 的行为，分析 $F$ 的动力学。
• 运用谱理论与动力系统技术，将射影谱与 Julia 集及 Fatou 集分解联系起来。
• 将结果应用于无限二面体群 $D_\infty$，并将该框架扩展至 Grigorchuk 群 $\mathcal{G}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 由自相似群表示诱导的有理映射的 Julia 集与群的射影谱之间有何关系？
• RQ2 在 $D_\infty$ 的 Fatou 集上，迭代序列 $F^{\circ n}$ 的极限函数具有何种结构？
• RQ3 能否利用射影空间上诱导映射的动力性质推断群的谱性质？
• RQ4 在此动力设定下，扩展非定域集与射影谱之间存在何种关系？
• RQ5 基于 $D_\infty$ 的情形，能否对 Grigorchuk 群的 Julia 集提出合理猜想？

主要发现

• 对于无限二面体群 $D_\infty$，诱导有理映射 $F$ 的 Julia 集等于射影谱 $p(A)$ 与扩展非定域集的并集。
• 在 Fatou 集上，迭代序列 $\{F^{\circ n}\}$ 的极限函数被显式确定并得到刻画。
• $D_\infty$ 的射影谱在有理映射 $F$ 的动力作用下保持不变，从而将谱不变量与动力不变量联系起来。
• 为 $D_\infty$ 建立的动力框架为分析 Grigorchuk 群 $\mathcal{G}$ 提供了基础，并暗示了其 Julia 集的猜想。
• 诱导映射 $F$ 保持射影谱，表明群表示与复动力系统之间存在深层次的结构联系。
• 结果表明，由群生成元提供的谱数据可完全决定射影空间上关联动力系统的关键特征。