[论文解读] Projective structures on a Riemann surface

Indranil Biswas, A.K. Raina|ArXiv.org|Jul 24, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在紧致黎曼曲面 $X$ 上建立了其上投影结构与特定线丛 $L = K_{X\times X} \bigotimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ 在三阶无穷小邻域 $3\Delta$ 上的平凡化之间的典范同构，该同构需与 $2\Delta$ 上的典范平凡化相容。关键贡献在于通过沿对角线的高阶喷射数据，对投影结构给出了几何刻画，从而通过 Suga­wara 形式将代数几何与共形场论联系起来。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface $X$ of any genus $g$, let $L$denote the line bundle $K_{X imes X}\otimes {\cal O}_{X imes X}(2Δ)$ on $X imes X$, where $K_{X imes X}$ is the canonical bundle of $X imes X$ and $Δ$ is the diagonal divisor. We show that $L$ has a canonical trivialisation over the nonreduced divisor $2Δ$. Our main result is that the space of projective structures on $X$ is canonically identified with the space of all trivialisations of $L$ over $3Δ$ which restrict to the canonical trivialisation of $L$ over $2Δ$ mentioned above. We give a direct identification of this definition of a projective structure with a definition of Deligne.We also describe briefly the origin of this work in the study of the so-called "Sugawara form" of the energy-momentum tensor in a conformal quantum field theory.

研究动机与目标

• 通过高阶喷射数据对紧致黎曼曲面上的投影结构进行几何刻画。
• 在 $2\Delta$ 上的平凡化相容的前提下，建立投影结构与线丛 $L$ 在 $3\Delta$ 上的平凡化之间的典范同构。
• 通过对角线与喷射丛的几何，将此几何构造与共形量子场论中的 Suga­wara 形式联系起来。
• 通过喷射理论数据，将投影结构的空间形式化为代数几何中的模问题。

提出的方法

• 在 $X \times X$ 上定义线丛 $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$，其中 $K_{X\times X}$ 为典范丛，$\Delta$ 为对角除子。
• 利用喷射理论技术，在非约化除子 $2\Delta$ 上构造 $L$ 的典范平凡化。
• 将投影结构刻画为在 $3\Delta$ 上的 $L$ 的平凡化，其限制于 $2\Delta$ 时等于典范平凡化。
• 通过无穷小邻域与线丛平凡化的理论，代数地编码投影结构。
• 建立此几何定义与通过射影联络定义的投影结构之间的等价性。
• 通过 $L$ 的几何及其在对角线无穷小邻域上的平凡化，将构造与共形场论中的 Suga­wara 形式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过沿对角线的高阶喷射数据，对黎曼曲面上的投影结构进行典范刻画？
• RQ2 线丛 $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ 在编码投影结构中起什么作用？
• RQ3 在 $2\Delta$ 上的 $L$ 的典范平凡化如何作为分类投影结构的自然基底？
• RQ4 此几何构造与共形场论中的 Suga­wara 形式以何种方式相关？
• RQ5 投影结构的空间能否被完全描述为在 $2\Delta$ 上固定平凡化相容的 $3\Delta$ 上平凡化的模空间？

主要发现

• 紧致黎曼曲面 $X$ 上的投影结构空间，与 $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ 在 $3\Delta$ 上的平凡化空间之间存在典范同构，且这些平凡化在 $2\Delta$ 上限制为典范平凡化。
• 利用对角除子上的喷射理论方法，构造了 $L$ 在 $2\Delta$ 上的典范平凡化。
• 此同构提供了一种新的、内在的投影结构几何定义，该定义基于黎曼曲面及其积结构。
• 该构造建立了喷射理论定义与通过射影联络定义的经典定义之间的直接等价性。
• 通过 $L$ 及其在对角线无穷小邻域上的平凡化，本工作为共形场论中的 Suga­wara 形式提供了几何解释。
• 该结果对任意亏格 $g$ 的紧致黎曼曲面均成立，表明该构造具有普遍性。