[论文解读] Projective Tensor Products of $C^*$-algebras

Ajay Kumar, Vandana Rajpal|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究 C*-代数的射影张量积，重点关注从 $A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**}$ 到 $(A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ 的典范嵌入的双连续性与同构性，将算子范数界改进为 $\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$。此外，证明若其中一个 C*-代数仅有有限个闭理想，则 $A \widehat{\otimes} B$ 中的每个闭理想均为有限个积理想的和，并在特定条件下证明了 $V \otimes_h W$ 中存在外自同构。

ABSTRACT

For $C^*$-algebras $A$ and $B$, we study the bi-continuity of the canonical embedding of $A^{**}\ot_γ B^{**}$ ($A^{**}\hat{\ot} B^{**}$) into $(A \ot_γ B)^{**}$ (resp. $(A \hat{\ot} B)^{**}$), and its isomorphism. Ideal structure of $A\hat{\ot} B$ has been obtained in case $A$ or $B$ has only finitely many closed ideals.

研究动机与目标

• 分析 C*-代数 $A$ 和 $B$ 的典范嵌入 $A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**} \to (A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ 的双连续性与同构性。
• 刻画当其中一个代数仅有有限个闭理想时，算子空间射影张量积 $A \widehat{\otimes} B$ 的理想结构。
• 研究在 C*-代数和精确算子代数中，$A \otimes_h B$ 和 $A \widehat{\otimes} B$ 中外自同构的存在性。
• 将截面映射的谱性质与同态性质推广至 Haagerup 张量积设定。

提出的方法

• 利用巴拿赫空间射影张量范数与注入张量范数之间的对偶性，重新推导典范嵌入的双连续性，并得到改进的常数。
• 应用非交换 Grothendieck 定理及关于联合完全有界双线性型的最新结果，分析算子空间射影张量积。
• 利用截面映射与纯态，将 $A \otimes_h B$ 中的谱性质与因子代数中的谱性质关联起来。
• 利用 Haagerup 范数及其性质，研究 $V \otimes_h W$ 中的自同构，特别是通过截面映射的模性质。
• 应用推论 4.5 与命题 4.4，证明 Haagerup 设定下张量映射的单射性与满射性。
• 利用相对交换子 $V \otimes_h Z(W)$ 与内自同构的结构，证明当 $\Phi$ 为外自同构时，$V \otimes_h W$ 中存在外自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，典范嵌入 $A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**} \to (A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ 是同构？
• RQ2 在典范映射 $\theta$ 的范数不等式 $\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$ 中，最优常数为何？
• RQ3 在什么条件下，$A \widehat{\otimes} B$ 中的每个闭理想均可分解为有限个积理想的和？
• RQ4 当 $V$ 具有完全有界外自同构且 $W$ 为 $*$-约化时，能否保证 $V \otimes_h W$ 中外自同构的存在性？
• RQ5 通过截面映射，$A \otimes_h B$ 中元素的谱性质如何与因子代数中的谱性质相关联？

主要发现

• 典范映射 $\theta: A \otimes_{\gamma} B \to (A^* \otimes_{\lambda} B^*)^*$ 满足 $\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$，改进了先前的界，并证明了双连续性。
• 若 $A$ 或 $B$ 仅有有限个闭理想，则 $A \widehat{\otimes} B$ 中的每个闭理想均为有限个积理想的和，此结果在极小张量积中不成立。
• 对于具有 $*$-约化性质的单位算子代数 $V$ 和 $W$，且 $V$ 具有完全有界外自同构 $\Phi$，则映射 $\mu(x) = \Phi(a_i) \otimes b_i$ 在 $V \otimes_h W$ 上是完全有界外自同构。
• 当 $A$ 为单位交换 $*$-约化巴拿赫 $*$-代数且 $\phi$ 为纯态时，截面映射 $R_\phi: A \otimes_h B \to B$ 是代数同态。
• 若对所有 $x \in A \otimes_h B$ 有 $\sigma(ux) = \sigma(vx)$，则在单位交换 $*$-约化 $A$ 与单位 $B$ 的条件下，有 $u = v$ 在 $A \otimes_h B$ 中成立，这是由于通过截面映射实现的谱相等性。
• 当 $\phi$ 和 $\psi$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的自同构时，映射 $\phi \otimes_h \psi$ 是 $V \otimes_h W$ 到自身的同构，且在 Haagerup 张量积中为单射与满射。