[论文解读] Projectively flat general $(\alpha,\beta)$-metrics with constant flag curvature

Changtao Yu, Hongmei Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文在特定几何条件下，对具有常旗曲率的射影平坦广义 (α, β)-度量进行分类，推导出 K = 1、0 和 −1 时此类度量的显式族。通过假设 α 具有常截面曲率，且 β 关于 α 为闭且共形的，作者求解了一个关键的偏微分方程组，构造了新的奇异 Finsler 度量，包括一个简洁形式 F = (bα + β)²/α，其为局部射影平坦且具有常旗曲率。

ABSTRACT

In this paper we study the flag curvature of a particular class of Finsler metrics called general $(\alpha,\beta)$-metrics, which are defined by a Riemannian metric $\alpha$ and a $1$-form $\beta$. The classification of such metrics with constant flag curvature are completely determined under some suitable conditions, which make them be locally projectively flat. As a result, we construct some new projectively flat Finsler metrics with flag curvature $1$, $0$ and $-1$, all of which are of singularity at some directions.

研究动机与目标

• 在确保局部射影平坦性的条件下，对具有常旗曲率的广义 (α, β)-度量进行分类。
• 将已知的 Randers 度量与平方度量结果推广至更广泛的 Finsler 度量类。
• 构造具有常旗曲率 K = 1、0 和 −1 的射影平坦 Finsler 度量的显式例子。
• 确定在射影平坦性条件下，α、β 和 φ(b², s) 的必要与充分条件以实现常旗曲率。
• 探讨共形条件与曲率条件在构造 Einstein 度量与常曲率 Finsler 度量中的作用。

提出的方法

• 假设 α 具有常截面曲率（αRᵢⱼ = μ(α²δᵢⱼ − yᵢyⱼ)），且 β 关于 α 共形（bᵢ|ⱼ = (κ − μb²)aᵢⱼ）。
• 对定义广义 (α, β)-度量 F = αφ(b², β/α) 的函数 φ(b², s) 强制施加偏微分方程条件 φ₂₂ = 2(φ₁ − sφ₁₂)。
• 利用偏微分方程条件与曲率约束，对局部射影平坦 (α, β)-度量进行分类。
• 应用引理 3.1 表明共形因子 c(x) 必须满足 c² = κ − μb²。
• 通过辅助函数 p(u)、q(u)、τ，在不同曲率假设（K = 1、0、−1）下求解关于 φ(b², s) 的相应常微分方程组。
• 构造 φ(b², s) 的显式解，并以闭合形式推导出相应的 Finsler 度量，包括 F = (bα + β)²/α。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 (α, β)-度量在何种条件下可实现局部射影平坦且具有常旗曲率？其必要与充分条件是什么？
• RQ2 在射影平坦类之外，是否存在非 Randers 型的广义 (α, β)-度量具有常旗曲率？
• RQ3 曲率条件 αRᵢⱼ = μ(α²δᵢⱼ − yᵢyⱼ) 与 bᵢ|ⱼ = (κ − μb²)aᵢⱼ 如何约束函数 φ(b², s) 的形式？
• RQ4 在这些假设下，可构造出哪些具有常旗曲率 K = 1、0 和 −1 的 Finsler 度量显式族？
• RQ5 度量 F = (bα + β)²/α 是否为这类射影平坦、常旗曲率 Finsler 度量的典型例子？

主要发现

• 所有具有常旗曲率 K = 1、0 或 −1 的射影平坦广义 (α, β)-度量，均源于在曲率与共形条件下的偏微分方程 φ₂₂ = 2(φ₁ − sφ₁₂) 的解。
• 最简单的此类度量为 F = (bα + β)²/α，其中 b = ∥β∥ₐ，其具有常旗曲率 K = 1。
• 对于 K = 0，论文构造了包括 F = √(b²α² − β²)/b² 在内的例子，其为符号为 (n−1, 0) 的正半定 Riemann 度量。
• 对于 K = −1，找到了多个解，包括 F = (b + s)²/2(1 + c₁b(b + s) + c₂√(1 + c₁(b² − s²)))，其中 c₁, c₂ = ±1。
• 对于 K = 1，推导出一个复杂解，涉及 √(1 + (b² − s²)² − 1)，其对应度量具有旗曲率 K = 1。
• 所有构造出的度量在某些方向上均为奇异的，因其包含在特定条件下会为零的平方根与分母。