[论文解读] Projectively invariant symbol map and cohomology of vector fields Lie algebras intervening in quantization

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|Nov 18, 1996

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文从微分算子到 $\mathbb{R}^n$ 的余切丛上的多项式函数构造了唯一的 $sl_{n+1}$-等变符号映射，建立了 $sl_{n+1}$-模的同构。此外，计算了 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 与对称张量场系数的上同调，识别出 $\mathrm{Vect}(M)$-等变量子化中的障碍，并表明 $sl_{n+1}$ 是这些上同调消失的最大子代数。

ABSTRACT

We define the unique (up to normalization) symbol map from the space of linear differential operators on $R^n$ to the space of polynomial on fibers functions on $T^* R^n$, equivariant with respect to the Lie algebra of projective transformations $sl_{n+1}\subset\Vect(R^n)$. We apply the constructed $sl_{n+1}$-invariant symbol to studying of the natural one-parameter family of $\Vect(M)$-modules on the space of linear differential operators on an arbitrary manifold M. Each of the $\Vect(M)$-action from this family can be interpreted as a deformation of the standard $\Vect(M)$-module $S(M)$ of symmetric contravariant tensor fields on M. We define (and calculatein the case: $M= R^n$) the corresponding cohomology of $\Vect(M)$ related with this deformation. This cohomology realize the obstruction for existence of equivariant symbol and quantization maps. The projective Lie algebra $sl_{n+1}$ naturally appears as the algebra of symmetries on which the involved $\Vect(M)$-cohomology is trivial.

研究动机与目标

• 定义在 $sl_{n+1}$ 作用于 $\mathbb{R}^n$ 下的投影李代数下等变的规范符号映射。
• 通过一个单参数族的作用研究微分算子上 $\mathrm{Vect}(M)$-模结构的形变。
• 计算 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 与对称协变张量场系数的上同调群，捕捉 $\mathrm{Vect}(M)$-等变量子化存在的障碍。
• 证明 $sl_{n+1}$ 是上同调类消失的最大子代数，意味着该子代数上模结构的平凡性。

提出的方法

• 利用射影向量场的作用，构造从 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 到 $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$ 的唯一 $sl_{n+1}$-等变符号映射。
• 将 $\mathrm{Vect}(M)$ 在 $\mathcal{D}(M)$ 上的作用建模为对称张量场 $\Gamma(S(TM))$ 上标准作用的形变，参数化为密度权 $\lambda$。
• 应用李代数上同调技术，计算 $H^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n), \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM))))$，识别出等变量子化的障碍。
• 分类 $sl_{n+1}$-等变双线性映射 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n) \times \Gamma(S^k(TM)) \to \Gamma(S^l(TM))$，将高维情形下的 Gordan 转移算子推广。
• 利用 $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{P}^n$、$S^n$ 和 $\mathbb{T}^n$ 上的射影结构，定义全局的 $sl_{n+1}$-等变结构。
• 将符号映射应用于 $T^*S^n$ 上测地线流的量子化，推导出具有曲率依赖势能的拉普拉斯–贝尔特拉米算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在唯一的 $sl_{n+1}$-等变符号映射，从微分算子到 $T^*\mathbb{R}^n$ 上的纤维多项式？
• RQ2 在 $\mathcal{D}(M)$ 上的 $\mathrm{Vect}(M)$-模结构是什么？它如何形变对称张量场上的标准作用？
• RQ3 哪些上同调类阻碍了 $\mathrm{Vect}(M)$-等变量子化映射的存在？
• RQ4 为何 $sl_{n+1}$ 是上同调障碍消失的最大子代数？
• RQ5 在测地线流哈密顿量 $H = g^{ij}\xi_i\xi_j$ 上，$sl_{n+1}$-等变量子化映射如何作用？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^n$ 上，$sl_{n+1}$-等变符号映射在归一化下唯一，为 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$ 之间提供了 $sl_{n+1}$-模的同构。
• $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM)))$ 系数的上同调群 $H^1$ 已计算并证明可分类 $\mathrm{Vect}(M)$-等变量子化的障碍。
• $sl_{n+1}$-不变符号映射在 $n=1$ 情形下与 Cohen、Manin 和 Zagier 构造的映射一致。
• 对于 $T^*S^n$ 上的测地线流，$H = g^{ij}\xi_i\xi_j$ 的 $sl_{n+1}$-等变量子化给出算子 $A_H = \Delta - \frac{n+1}{12(n+2)}R$，其中 $R$ 为标量曲率。
• $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 上的上同调类 $c_2$ 控制形变，是 Gelfand–Fuchs 上同调类的多维类比。
• $k$ 个李导数对称积的 $sl_{n+1}$-等变符号映射有显式公式，揭示了微分算子空间中出人意料的代数结构。