[论文解读] Projectors on the intermediate algebraic Jacobians

Charles Vial|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 39

一句话总结

该论文在光滑射影代数簇的查尔斯群中构造了正交幂等对应，其投影到由曲线生成的上同调部分，推广了Murre的阿尔巴内塞与佩卡尔投影算子。关键结果是：查尔斯群的零维循环由曲线支撑的簇——例如有理连通四fold—— admits 自对偶的查尔斯-库恩斯分解，满足动机Lefschetz猜想与格罗滕迪克的标准猜想。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex smooth projective variety of dimension $d$. Under some assumption on the cohomology of $X$, we construct mutually orthogonal idempotents in $CH_d(X imes X) \otimes \Q$ whose action on algebraically trivial cycles coincides with the Abel-Jacobi map. Such a construction generalizes Murre's construction of the Albanese and Picard idempotents and makes it possible to give new examples of varieties admitting a self-dual Chow-Künneth decomposition satisfying the motivic Lefschetz conjecture as well as new examples of varieties having a Kimura finite dimensional Chow motive. For instance, we prove that fourfolds with Chow group of zero-cycles supported on a curve (e.g. rationally connected fourfolds) have a self-dual Chow-Künneth decomposition which satisfies the motivic Lefschetz conjecture and consequently Grothendieck's standard conjectures. We also prove that hypersurfaces of very low degree are Kimura finite dimensional.

研究动机与目标

• 将Murre对阿贝勒塞与佩卡尔投影算子的构造推广至更高奇数上同调度。
• 在 $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 中构造正交幂等对应，其作用为 $H_{2i+1}(X)$ 中由曲线生成的子霍奇结构的投影算子。
• 建立簇具备自对偶查尔斯-库恩斯分解并满足动机Lefschetz猜想的条件。
• 证明查尔斯群的零维循环由曲线支撑的簇在基姆拉的意义下具有有限维查尔斯动机。

提出的方法

• 定义 $N^i H_{2i+1}(X)$ 为 $H_{2i+1}(X)$ 的子群，由通过对应 $\Gamma \in CH_{i+1}(C \times X)$ 的 $H_1(C)$ 的上推生成。
• 在 $N^{\lfloor(2d-i)/2\rfloor}H_{2d-i}(X)$ 与 $N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$ 之间的上积配对上引入非退化条件，以确保投影算子的存在。
• 在 $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 中构造幂等对应 $\Pi_{2i,i}$，通过对偶性将其投影到 $N^i H_{2i}(X)$ 与 $N^i H_{2i+1}(X)$。
• 利用Jannsen的半单性定理，并从数值等价提升到有理等价，构造模有理等价的投影算子。
• 应用对角线的广义分解，证明在代数循环假设下 $H_i(X) = N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$。
• 利用Lefschetz $(1,1)$-定理与上同调的消失性，确保霍奇类为代数类，从而实现CK分解的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 Murre的幂等投影算子能否推广至 $H_1$ 与 $H_{2d-1}$ 之外的中间上同调度？
• RQ2 在何种上同调条件下，簇具备满足动机Lefschetz猜想的自对偶查尔斯-库恩斯分解？
• RQ3 当查尔斯群的零维循环由曲线支撑时，何时簇具有有限维查尔斯动机？
• RQ4 如何为有理连通四fold与低次超曲面建立标准猜想？
• RQ5 何种条件可确保簇的上同调由通过对应从曲线上同调生成？

主要发现

• 查尔斯群的零维循环由曲线支撑的四fold——例如有理连通四fold——具备满足动机Lefschetz猜想的自对偶查尔斯-库恩斯分解。
• 此类四fold也满足格罗滕迪克的标准猜想，作为自对偶CK分解存在的推论。
• 极低次的超曲面，包括三次5-fold与二次与三次超曲面的交，被证明在基姆拉的意义下具有有限维查尔斯动机。
• 对于奇数维簇，若 $H^{n+1}(X, \Omega_X^{n-1})$ 消失，且低阶查尔斯群可表示，则该簇具备CK分解并满足动机Lefschetz猜想。
• 奇数维簇的CK分解中的幂等 $\Pi_d$ 可由支撑在 $X \times Z$ 上的循环表示，其中 $\dim Z = n+2$。
• 在具有有限维动机的簇上对光滑曲线进行吹破，保持有限维性；此类簇的积也具有有限维动机。