[论文解读] Prolongations vs. Tulczyjew triples in Geometric Mechanics

J\'o\'zwikowski, Micha{\l}|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用 1

一句话总结

本文证明，在李代数胚上的几何力学中，图尔茨基耶夫三重方法比延拓方法更为基本。通过分析两种框架中的规范结构，作者表明图尔茨基耶夫三重映射——特别是哈密顿侧和拉格朗日侧——通过延拓形式的自然投影和对偶化，几何地嵌入于延拓形式主义之中。关键贡献在于证明，两种形式主义产生等价动力学并非偶然，而是因为图尔茨基耶夫三重在结构上隐藏于延拓构造之内。

ABSTRACT

In the scientific literature there are basically two schools of formulating Lagrangian (or Hamiltonian) mechanics in the (Lie) algebroid setting: in terms of prolongations and in terms of Tulczyjew triples. Despite the fact that in both approaches we describe the same phenomena, so far no comparison between prolongations and Tulczyjew triples was made. In this note we aim to fill this gap. More precisely, we will strip the prolongation approach to uncover the Tulczyjew triple reality hidden inside, thus proving that the latter approach is a more basic one.

研究动机与目标

• 解决长期以来在李代数胚上的几何力学中，延拓方法与图尔茨基耶夫三重方法之间缺乏几何比较的问题。
• 阐明尽管两种形式主义具有不同的几何结构，为何它们会产生相同的运动方程。
• 证明图尔茨基耶夫三重不仅等价，而且在结构上嵌入于延拓框架之中。
• 表明延拓方法的辛形式和预辛形式通过自然投影和对偶化编码了图尔茨基耶夫三重的典范态射。

提出的方法

• 分析李代数胚 E → M 的 E-延拓和 E*-延拓，将切丛 T E 和 T E* 构造为双重向量丛。
• 引入 T E* 上的典范非退化 2-形式 ΩE，以及拉格朗日情形下其在 T E 上的拉回形式 ωL = (T λLE)*ΩE。
• 利用典范嵌入 iE* : T E* → E* ×M T*E* 的对偶，构造映射 (iE*)* ◦ (ΩE)^{-1} ◦ iE* : E* × T*E* → E × TE*。
• 证明该映射恢复了图尔茨基耶夫三重的哈密顿侧，即 gΛE* : T*E* → TE*。
• 表明拉格朗日能量微分 dEL 自然地由 dL 通过勒让德变换导出，且相关的态射 fωL 与图尔茨基耶夫三重的拉格朗日侧等价。
• 建立两个形式主义中，图尔茨基耶夫三重的哈密顿侧与拉格朗日侧均可通过将延拓形式主义的结构限制并投影到适当的子丛上而被恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在李代数胚上的几何力学中，尽管延拓方法与图尔茨基耶夫三重方法的几何构造不同，却会产生相同的运动方程？
• RQ2 是否存在更深层次的几何关系，能够解释两种形式主义的等价性，而不仅仅是局部坐标匹配？
• RQ3 图尔茨基耶夫三重能否作为延拓形式主义的典范子结构被导出？
• RQ4 勒让德变换及其延拓在连接两种形式主义中起什么作用？
• RQ5 在此背景下，图尔茨基耶夫三重方法是否比延拓方法更为基本？

主要发现

• 图尔茨基耶夫三重的哈密顿侧，gΛE* : T*E* → TE*，通过复合映射 (iE*)* ◦ (ΩE)^{-1} ◦ iE* 从延拓形式主义中几何地恢复。
• 图尔茨基耶夫三重的拉格朗日侧，EE : T*E → TE*，通过与拉回 2-形式 ωL = (T λLE)*ΩE 关联的向量丛态射 fωL 在延拓形式主义中被编码。
• 延拓方法中的能量微分 dEL 由勒让德变换自然地从 dL 导出，确认了拉格朗日侧的一致性。
• 延拓形式主义的辛结构与预辛结构并非独立，而是内在地包含了图尔茨基耶夫三重的典范态射。
• 两种形式主义的等价性并非偶然，而是因为图尔茨基耶夫三重在几何上被嵌入于延拓构造之中。
• 本文结论认为图尔茨基耶夫三重方法更为基本，因为延拓方法可被视为基于其构建的衍生构造。