[论文解读] Proof nets and the instantiation overflow property

Paolo Pistone|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文使用证明网和线性逻辑研究了 System F 中的实例化溢出性质，通过广义 Russell-Prawitz 类型的推广，对形如 $\forall XA$（其中 $A$ 为简单类型）的类型进行刻画，这些类型具有该性质。关键结果是完整刻画：$\forall XA$ 具有实例化溢出当且仅当 $A$ 可导或在逻辑上等价于广义 Russell-Prawitz（gRP）类型之积。

ABSTRACT

Instantiation overflow is the property of those second order types for which all instances of full comprehension can be deduced from instances of atomic comprehension. In other words, a type has instantiation overflow when one can type, by atomic polymorphism, "expansion terms" which realize instances of the full extraction rule applied to that type. This property was investigated in the case of the types arising from the well-known Russell-Prawitz translation of logical connectives into System F, but is not restricted to such types. Moreover, it can be related to functorial polymorphism, a well-known categorial approach to parametricity in System F. In this paper we investigate the instantiation overflow property by exploiting the representation of derivations by means of linear logic proof nets. We develop a geometric approach to instantiation overflow yielding a deeper understanding of the structure of expansion terms and Russell-Prawitz types. Our main result is a characterization of the class of types of the form $\forall XA$, where $A$ is a simple type, which enjoy the instantiation overflow property, by means of a generalization of Russell-Prawitz types.

研究动机与目标

• 通过证明网，提供对 System F 中实例化溢出性质的几何与范畴论理解。
• 将已知的实例化溢出刻画从标准 Russell-Prawitz 类型扩展到更广泛的类型类。
• 将实例化溢出性质与函子多项式及余自然性联系起来，阐明其语义基础。
• 建立对简单类型 $A$ 的完整刻画，使得 $\forall XA$ 具有实例化溢出性质。
• 探讨关于广义 Russell-Prawitz 类型的可判定性及逻辑解释的开放问题。

提出的方法

• 使用线性逻辑中的证明网（特别是 $\mathit{IMLL^{-}}$ 和 $\lambda_{\multimap}$）表示推导并分析类型结构。
• 引入线性可展开类型的概念，并构建简单的展开图以建模展开项。
• 在 $\mathit{IMLL^{-}}$ 和 $\lambda_{\Rightarrow}$ 中应用弱证明网插值与正性引理，分析代换下的类型行为。
• 利用线性化定理，将复杂类型结构简化为更简单、可管理的形式。
• 将广义 Russell-Prawitz（gRP）类型定义为标准 RP 类型的推广，允许变量识别与连接词的复合。
• 使用 $F_{at}$-坍缩与逻辑等价性，将刻画问题约化为检查可导性或 gRP 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些类型 $\forall XA$（其中 $A$ 为简单类型）满足实例化溢出性质？
• RQ2 如何使用证明网和线性逻辑从几何角度刻画实例化溢出性质？
• RQ3 实例化溢出与函子多项式或余自然性之间存在何种关系？
• RQ4 对于简单类型，实例化溢出性质是否可判定？其在完整 System F 中的可判定性状态如何？
• RQ5 广义 Russell-Prawitz 类型对应哪些逻辑连接词？它们如何扩展原始 RP 翻译？

主要发现

• 本文提供了完整刻画：$\forall XA$ 具有实例化溢出当且仅当 $A$ 可导或在逻辑上等价于广义 Russell-Prawitz（gRP）类型之积。
• 具有实例化溢出性质的类型类严格大于原始 Russell-Prawitz 类型，如通过反例 $\forall X(X\Rightarrow\forall Z Z\Rightarrow D)$ 所示。
• 由于 $F_{at}$ 中可导性的不可判定性（等价于 $\mathit{IFOL_{mon}^{1}}$），完整 System F 中实例化溢出性质是不可判定的。
• 广义 Russell-Prawitz 类型可解释为复合逻辑连接词（如 $(A\land B)\lor C$）的翻译，通过在 $qRP_{\mathcal{X}}$ 类型中识别变量实现。
• 实现实例化溢出的展开项可使用协变自函子与余自然变换范畴地构造。
• 实例化溢出与模余自然性的完全提取之间的等价性并不直接推广到广义 RP 类型，此问题仍为开放问题。