[论文解读] Proof of the Kobayashi conjecture on the hyperbolicity of very general hypersurfaces

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 9

一句话总结

该论文通过使用广义的Green-Griffiths-Lang猜想和定向代数几何中的喷射丛半稳定性技术，证明了复射影空间 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 中任意维度 $ n $ 且次数 $ d \geq 2n+2 $ 的非常一般超曲面是Kobayashi双曲的。关键结果确认了所有此类超曲面对应的双曲性，且在一般情况下，$ 2n+2 $ 的界限是最优的。

ABSTRACT

The Green-Griffiths-Lang conjecture stipulates that for every projective variety $X$ of general type over ${\mathbb C}$, there exists a proper algebraic subvariety of $X$ containing all non constant entire curves $f:{\mathbb C} o X$. Using the formalism of directed varieties, we prove here that this assertion holds true in case $X$ satisfies a strong general type condition that is related to a certain jet-semistability property of the tangent bundle $T\_X$. We then use this fact to confirm a long-standing conjecture of Kobayashi (1970), according to which a very general algebraic hypersurface of dimension $n$ and degree at least $2n+2$ in the complex projective space ${\mathbb P}^{n+1}$ is hyperbolic.

研究动机与目标

• 确认长期悬而未决的Kobayashi猜想，即复射影空间中非常一般超曲面的双曲性。
• 为定向射影流形建立广义的Green-Griffiths-Lang猜想版本。
• 证明此类超曲面中的全纯曲线是代数退化的，即包含于某个真子簇中。
• 证明在特定喷射丛半稳定性条件下，若 canonical sheaf $ K_V $ 为大线丛，则可推出双曲性。
• 将结果推广至超曲面的补集，并探讨是否可改进次数界限。

提出的方法

• 论文采用定向射影概形的形式语言，其中 $ (X,V) $ 由射影流形 $ X $ 和其切丛的子丛 $ V \subset T_X $ 构成，用于研究与 $ V $ 相切的全纯曲线。
• 应用喷射丛理论和Semple塔构造，分析超曲面全族总空间的双曲性。
• 证明在条件 $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ 下，对所有 $ q \geq N+1 $，层 $ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ 由截面生成且相对ample。
• 利用喷射丛的相对ample性质和退化点集分析，控制全纯曲线的像集 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $。
• 结合Clemens、Ein和Voisin关于canonical丛正性和完全交几何的研究技术。
• 利用如下事实：对次数 $ \geq 2n+2 $ 的超曲面 $ Y \subset \mathbb{P}^{n+1} $，有 $ \mathop{\rm ECL}(Y) = \emptyset $，从而推出补集 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ 的双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 中，次数 $ \geq 2n+2 $ 的非常一般超曲面中，每个全纯曲线是否都位于某个真代数子簇中？
• RQ2 Green-Griffiths-Lang猜想能否推广至具有大 canonical sheaf $ K_V $ 的定向流形？
• RQ3 在喷射丛半稳定性条件下，此类定向流形的全纯曲线像集 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ 是否为空？
• RQ4 Kobayashi猜想中的界限 $ 2n+2 $ 能否改进为 $ 2n+1 $，且该界限是否最优？
• RQ5 当 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 为次数 $ \geq 2n+2 $ 的非常一般超曲面时，补集 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ 是否满足Kobayashi双曲性？

主要发现

• Kobayashi猜想得到证实：在 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 中，次数 $ d \geq 2n+2 $ 的非常一般超曲面是Kobayashi双曲的。
• 对所有 $ n, c \geq 1 $ 且满足 $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ 的次数，$ \mathbb{P}^{n+c} $ 中的非常一般完全交是代数喷射双曲的，因此也是Kobayashi双曲的。
• 结果表明，此类超曲面对应的全纯曲线像集 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ 为空，即不存在非平凡全纯曲线。
• 证明表明，对 $ q \geq N+2 $，喷射丛 $ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ 是相对ample的，从而确保双曲性所需的正性。
• 当 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 为次数 $ d \geq 2n+2 $ 的非常一般超曲面时，补集 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ 是Kobayashi双曲的。
• 在一般情况下，界限 $ 2n+2 $ 是最优的，Zaidenberg的反例已证明当 $ d = 2n $ 时结论不成立。