[论文解读] PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Dec 13, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 20

一句话总结

本文引入并研究了带有定向环路和轮子的有向图复形，以在 props 的背景下分析形变量子化。它证明了普瓦松结构的普遍量子化对应于微分graded props 的态射，并表明带有轮子的李双代数 props 扩张与无轮子版本不 quasi-isomorphic，从而证明在有限维普遍量子化公式中，轮子——对于迹运算至关重要——是不可避免的。

ABSTRACT

Motivated by the problem of deformation quantization we introduce and study directed graph complexes with oriented loops and wheels. We develop some technique for computing cohomology of such graph complexes and apply it to several concrete examples such as wheeled completion of the operad of strongly homotopy Lie algebras and the wheeled completion of the dg prop of Poisson structures. We prove also a deformation quantization theorem of wheeled Poisson structures on arbitrary formal graded manifolds.

研究动机与目标

• 将图复形理论扩展至包含有向图的定向环路和轮子，特别关注形变量子化背景。
• 理解带轮子的 props 扩张在编码 graded 流形上的普瓦松结构和星积中的作用。
• 研究李 1-双代数 props 的最小解析到其自身之间的自然满射在轮子完成之后是否仍为 quasi-isomorphism。
• 研究轮子图复形的上同调行为，特别是高亏格轮子的情况。
• 建立在有限维情况下，普遍形变量子化公式本质上需要包含轮子的图，因为迹运算必不可少。

提出的方法

• 引入微分自由 props $\mathsf{DefQ}$，其表示分类了多微分算子的 Hochschild 微分李代数中的 Maurer-Cartan 元素。
• 将 $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright}$ 定义为带有环路和轮子的李 1-双代数 props 的最小解析。
• 通过循环群作用和标记图上的对称化算子 $N = 1 + t + \cdots + t^{n-1}$ 构造一个第四象限双复形。
• 利用循环同调框架，将未标记图复形的上同调与双复形的总复形上同调联系起来。
• 应用恒等式 $N\delta = bN$ 和 $\delta(1-t) = (1-t)b$，在特定条件下证明了上同调的殆正则性结果。
• 分析由至多亏格 1 轮子生成的子复形的上同调，并识别出一个非平凡类，其包含三个轮子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 graded 流形上的普瓦松结构的普遍形变量子化公式是否必然依赖于包含轮子的图？
• RQ2 在轮子完成之后，$\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty \to \mathsf{Lie}^1\mathsf{B}$ 的自然满射是否仍为 quasi-isomorphism？
• RQ3 轮子扩展 $\mathsf{Lie}_\infty^{\circlearrowright}$ 的上同调是什么？它与无轮子情况有何不同？
• RQ4 包含高亏格轮子的图复形的上同调是否可能非平凡？如果是，这类类的结构如何？
• RQ5 循环群作用和对称化算子 $N$ 如何促进轮子图复形上同调的计算？

主要发现

• 如定理 4.1.1 所示，轮子扩展 $\mathsf{Lie}_\infty^{\circlearrowright}$ 的上同调几乎处处为殆正则。
• 与无轮子情况相比，$\mathsf{Ass}_\infty$ 操作子的轮子扩展的上同调变得显著复杂。
• 显式构造出一个包含三个轮子的非平凡上同调类，证明了自然满射 $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright} \to \mathsf{Lie}^1\mathsf{B}^{\circlearrowright}$ 不是 quasi-isomorphism。
• 由至多亏格 1 轮子生成的 $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright}$ 子复形几乎处处为殆正则。
• 在普遍形变量子化公式中，轮子图是不可避免的，因为它们编码了有限维情形下必需的迹运算。
• 未标记图复形 $H(\mathsf{T}^{\circlearrowright}\langle E\rangle, \delta)$ 的上同调同构于循环双复形 $C_{\bullet,\bullet}$ 的总复形上同调。