[论文解读] Propagating phase boundaries: formulation of the problem and existence via the Glimm scheme

Philippe G. LeFloch|ArXiv.org|Jan 23, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文通过在亚音速相界面上引入动力学关系以及针对新相形成提出成核准则，为描述具有非单调应力-应变关系的弹性材料的双曲-椭圆系统提出了一个适定问题。利用对相界收敛性进行精细化分析的Glimm格式，证明了在BV函数中具有传播相界的可接受弱解的存在性及其在L¹范数下的连续依赖性。

ABSTRACT

In this paper we consider the hyperbolic-elliptic system of two conservation laws that describes the dynamics of an elastic material governed by a non-monotone strain-stress function. Following Abeyaratne and Knowles, we propose a notion of admissible weak solution for this system in the class of functions with bounded variation. The formulation includes an entropy inequality, a kinetic relation (imposed along any subsonic phase boundary), and an nucleation criterion (for the appearance of new phase boundaries). We prove the L1 continuous dependence of the solution to the Riemann problem. Our main result yields the existence and the stability of propagating phase boundaries. The proof is based on Glimm's scheme and in particular on techniques going back to Glimm-Lax. In order to deal with the kinetic relation, we prove a result of pointwise convergence for the phase boundary.

研究动机与目标

• 解决描述具有非单调应力函数的弹性材料的双曲-椭圆系统中弱解的非唯一性问题。
• 通过结合亚音速相界面上的动力学关系以及新相形成的成核准则，借鉴Abeyaratne和Knowles的思想，提出一个适定问题。
• 在该框架下，建立Riemann问题中解对初值的L¹连续依赖性。
• 利用Glimm格式证明具有传播相界的可接受弱解的存在性，将结果从Riemann情形推广至小的BV扰动情形。
• 为通过动力学关系与熵不等式在混合类型系统中实现物理解的选取，提供严格的数学基础。

提出的方法

• 采用包含熵不等式、亚音速相界面上的动力学关系以及新相界面成核准则的可接受弱解的表述形式。
• 对初始数据为单个传播相界的小BV扰动的情形，应用Glimm格式构造近似解。
• 通过相界点态收敛技术处理极限中的动力学关系，确保与物理耗散率的一致性。
• 利用总 variation 的一致有界性，证明Glimm格式在有界Borel测度的弱-star拓扑下的收敛性。
• 证明极限解在分布意义下满足完整的系统，包括动力学关系与熵不等式。
• 通过动力学关系的一侧Lipschitz逼近方法，分析临界速度（如 $V^* = c_3$）处的行为，以确保极限中的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱解存在非唯一性的前提下，如何为具有非单调应力函数的双曲-椭圆系统提出适定问题？
• RQ2 动力学关系在该类系统中亚音速相界面上选择物理上有意义解方面起什么作用？
• RQ3 Glimm格式能否被调整以确保收敛至同时满足动力学关系与熵不等式的可接受解？
• RQ4 在该非严格双曲设置下，何种条件可保证解对初值的L¹连续依赖性？
• RQ5 在小BV扰动下，具有传播相界的解具有何种结构性质与稳定性？

主要发现

• 本文在动力学关系与成核准则下，证明了对单个相界的小BV扰动，存在具有传播相界的可接受弱解。
• 通过Glimm格式构造的解在测度的弱-star拓扑下收敛，且极限中保持了动力学关系。
• 相界点态收敛被严格证明，从而使得极限过程中动力学关系的处理成为可能。
• 证明了在临界速度 $V^* = c_3$ 处相界上的熵耗散是连续的，确保了解结构的稳定性。
• 对Riemann问题，证明了解对初值的L¹连续依赖性，证实了在小扰动下的稳定性。
• 对 $V^* eq 0$ 的限制是技术性的，若采用其他方法可被移除，提示该结果或可推广至一般初值。