[论文解读] Propagation dynamics of a light beam in fractional Schr\"odinger equation

Yiqi Zhang, Xing Liu+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Nonlinear Photonic Systems参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文研究了在谐振势下分数阶薛定谔方程（FSE）中光束的传播动力学，揭示了由于非局部分数阶拉普拉斯算子效应，在1D中产生非谐波、之字形轨迹，而在2D中形成漏斗状、丝状结构。与标准量子力学不同，光束在实空间和动量空间中表现出非谐波、不规则振荡，虽保持局域化，但谱展宽导致长距离传播时出现不稳定性。

ABSTRACT

Dynamics of wavepackets in fractional Schrodinger equation is still an open problem. The difficulty stems from the fact that the fractional Laplacian derivative is essentially a nonlocal operator. We investigate analytically and numerically the propagation of optical beams in fractional Schr\"odinger equation with a harmonic potential. We find that the propagation of one- and two-dimensional (1D, 2D) input chirped Gaussian beams is not harmonic. In 1D, the beam propagates along a zigzag trajectory in the real space, which corresponds to a modulated anharmonic oscillation in the momentum space. In 2D, the input Gaussian beam evolves into a breathing ring structure in both real and momentum spaces, which forms a filamented funnel-like aperiodic structure. The beams remain localized in propagation, but with increasing distance display increasingly irregular behavior, unless both the linear chirp and the transverse displacement of the incident beam are zero.

研究动机与目标

• 研究分数阶薛定谔方程（FSE）在谐振势下的波包时间与空间依赖动力学，此情形此前未被深入探讨。
• 理解分数阶拉普拉斯导数的非局部性如何改变光束传播特性，相较于标准量子力学。
• 分析实空间与动量空间（k空间）中光束演化的差异，尤其在啁啾和横向位移存在时。
• 为FSE中的光束动力学建立解析解，并与数值模拟进行验证。
• 展示在如分数阶梯度折射率介质或非球面腔等光学系统中实验实现的可行性。

提出的方法

• 通过抛物波方程与薛定谔方程的等价性，将该框架扩展至FSE，用于建模分数阶量子系统中的光束传播。
• 利用傅里叶变换处理分数阶拉普拉斯算子，将FSE转化为动量空间中的标准薛定谔方程，并引入线性势项。
• 采用特征线法与傅里叶积分变换，推导1D与2D情形下的解析解，特别针对啁啾高斯光束。
• 在实空间与k空间中分析动力学，重点关注光束宽度、峰值强度与相位演化。
• 通过数值模拟验证解析预测，尤其在长距离传播中不稳定性显现时。
• 通过考虑在抛物势中具有径向啁啾与横向位移的圆形对称高斯光束，将框架扩展至2D。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准量子力学相比，FSE中非局部分数阶拉普拉斯算子如何改变谐振势下光束的谐波振荡行为？
• RQ2 啁啾高斯光束在具有谐振势的1D与2D FSE系统中的轨迹与结构演化为何？
• RQ3 为何FSE中的光束在长距离传播中表现出不规则性加剧与动量空间中谱展宽？
• RQ4 线性啁啾与横向位移的存在如何影响FSE传播中光束的局域化与稳定性？
• RQ5 FSE动力学是否可解析求解，并可在如分数阶GRIN介质等光学系统中实现？

主要发现

• 在1D中，啁啾高斯光束在实空间中沿之字形轨迹传播，对应于动量空间中的非谐波振荡，偏离了谐波运动。
• 在2D中，光束演化为一种呼吸环结构，在实空间与动量空间中均形成丝状漏斗状非周期性结构，这是由于转折点处的锯齿状折射率变化所致。
• 光束在传播过程中保持局域化与能量守恒，但k空间中的谱展宽导致长距离传播时行为日益不规则，除非啁啾与位移均为零。
• FSE中谐振势下的解析解在短距离内与数值模拟结果高度一致，验证了所推导光束演化表达式的有效性。
• 在1D中，振荡周期为 𝒪 = 0（当 x₀ = C = 0 时），确保光束沿 x = 0 和 k = 0 局域化，呈现类似呼吸子的行为。
• 在2D中，传播周期为 ℒ = 4√(r₀² ∓ C/β²)，光束峰值强度显著变化，且由于圆锥形势能分布，在实空间与k空间中均观察到丝状化现象。