[论文解读] Propagation of chaos for some 2 dimensional fractional Keller Segel equations in diffusion dominated and fair competition cases

Samir Salem|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文研究了二维分数阶Keller–Segel模型在分数阶拉普拉斯算子 $-(-\Delta)^{a/2}$，$a\in(1,2)$ 及奇异相互作用核 $|x|^{1-\alpha}$，$\alpha\in(1,a]$ 条件下的混沌传播问题。对于 $\alpha\in(1,a)$ 的情形，通过分数阶Fisher信息泛函的 $\Gamma$-下确连续性，证明了完整的混沌传播；在临界质量条件下，于公平竞争情形 $a=\alpha$ 下建立了收敛性/一致性结果。

ABSTRACT

In this work we deal with the local in time propagation of chaos without cut-off for some two dimensional fractional Keller Segel equations. More precisely the diffusion considered here is given by the fractional Laplacian operator $-(-Δ)^{\frac{a}{2}}$ with $a \in (1,2)$ and the singularity of the interaction is of order $|x|^{1-α}$ with $α\in ]1,a]$. In the case $α\in (1,a)$ we give a complete propagation of chaos result, proving the $Γ$-l.s.c property of the fractional Fisher information, already known for the classical Fisher information, using a result of Mischler and Hauray. In the fair competition case $a=α$, we only prove a convergence/consistency result in a sub-critical mass regime, similarly as the result obtained for the classical Keller-Segel equation.

研究动机与目标

• 建立具有 $a$-稳定Lévy运动和奇异相互作用的二维分数阶Keller–Segel系统的混沌传播。
• 分析在扩散主导（$\alpha\in(1,a)$）和公平竞争（$a=\alpha$）两种情形下的系统行为。
• 将经典混沌传播框架推广至分数阶扩散和奇异相互作用核的情形。
• 在扩散主导情形下，证明分数阶Fisher信息泛函的 $\Gamma$-下确连续性。
• 在公平竞争情形 $a=\alpha$ 下，于亚临界质量条件下，建立粒子系统的收敛性/一致性结果。

提出的方法

• 利用 $N$ 个相互作用的 $a$-稳定Lévy过程的粒子系统建模细菌趋化行为，其相互作用核为 $K_\alpha(x) = -x/|x|^\alpha$。
• 通过 $N \to \infty$ 的极限过程，推导出非线性PDE极限 $\partial_t \rho_t + \chi \nabla \cdot (\rho_t \ast K_\alpha) + (-\Delta)^{a/2} \rho_t = 0$。
• 采用鞅方法证明粒子系统收敛至非线性SDE和PDE极限。
• 应用分数阶Fisher信息泛函，并通过文献[18]中的结果，证明其在 $\alpha\in(1,a)$ 情形下的 $\Gamma$-下确连续性。
• 利用紧性估计和矩界控制经验测度，确保弱收敛性。
• 通过凸组合论证和弱收敛技术，建立极限泛函的下确连续性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N \to \infty$ 时，$N$ 个相互作用的 $a$-稳定Lévy过程的粒子系统是否收敛至非线性分数阶PDE？
• RQ2 在哪些 $a$ 和 $\alpha$ 条件下，可保证分数阶Keller–Segel模型中混沌传播的成立？
• RQ3 分数阶Fisher信息泛函是否具有 $\Gamma$-下确连续性，从而在扩散主导情形下支持混沌传播？
• RQ4 在公平竞争情形 $a = \alpha$ 下，能否建立收敛性/一致性结果？
• RQ5 初始质量在分数阶系统全局适定性与混沌传播中起何种作用？

主要发现

• 对于 $\alpha \in (1,a)$，通过证明分数阶Fisher信息泛函的 $\Gamma$-下确连续性，论文建立了完整的混沌传播。
• 通过鞅方法和紧性估计，证明了粒子系统向非线性PDE的收敛性。
• 在公平竞争情形 $a = \alpha$ 下，于亚临界质量条件下建立了收敛性/一致性结果，其形式与经典结果类似。
• 证明依赖于矩界和经验测度的弱收敛性，收敛速率为 $O((N-1)^{-(1-1/\kappa)})$，其中 $\kappa \in (1,2)$。
• 证明了泛函 $\tilde{\mathcal{I}}_a$ 的 $\Gamma$-下确连续性，确保了极限在弱收敛下的稳定性。
• 极限测度满足 $\tilde{\mathcal{I}}_a(\pi) = \theta \tilde{\mathcal{I}}_a(F) + (1-\theta)\tilde{\mathcal{I}}_a(G)$，证实了极限泛函的一致性。