[论文解读] Propagation time for probabilistic zero forcing

Jesse Geneson, Leslie Hogben|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文引入并分析了概率零 forcing中的期望传播时间，这是一种模拟谣言或感染传播的随机图着色过程。研究推导出路径和环的精确期望传播时间，为星形图和一般图提供了渐近界，并将其应用于概率性节流和置信度传播，利用概率与图论技术建立了紧致界。

ABSTRACT

Zero forcing is a coloring game played on a graph that was introduced more than ten years ago in several different applications. The goal is to color all the vertices blue by repeated use of a (deterministic) color change rule. Probabilistic zero forcing was introduced by Kang and Yi in [Probabilistic zero forcing in graphs, Bull. Inst. Combin. Appl. 67 (2013), 9--16] and yields a discrete dynamical system, which is a better model for some applications. Since in a connected graph any one vertex can eventually color the entire graph blue using probabilistic zero forcing, the expected time to do this is a natural parameter to study. We determine expected propagation time exactly for paths and cycles, establish the asymptotic value for stars, and present asymptotic upper and lower bounds for any graph in terms of its radius and order. We apply these results to obtain values and bounds on $\ell$-round probabilistic zero forcing, throttling number for probabilistic zero forcing, and confidence levels for propagation time.

研究动机与目标

• 建立连通图中概率零 forcing 的期望传播时间，这是确定性零 forcing 过程的随机变体。
• 分析所有顶点变为蓝色的期望时间如何依赖于图的结构，特别是针对路径、环、星形图和一般图。
• 将结果扩展至概率性节流和置信度传播时间，引入新参数以提升随机着色过程的效率与可靠性。
• 以图的半径和阶数为基准，提供期望传播时间的紧致渐近界，并探讨最优初始顶点集的选择。

提出的方法

• 采用概率着色变化规则：每个蓝色顶点独立地以与其闭邻域中已着色蓝色部分的比例为概率，尝试强迫其白色邻居着色。
• 应用马尔可夫不等式与集中不等式，估算所有顶点变为蓝色所需的期望轮数。
• 利用引理 2.10，通过期望时间的对数增长特性，界定一组蓝色顶点的所有邻居变为蓝色的期望时间。
• 利用图的半径与阶数，推导出路径、环和星形图的期望传播时间的上下界。
• 引入置信度传播时间与置信度节流，利用期望传播时间与马尔可夫不等式，界定达到给定置信水平所需的时间。
• 通过生成树与中心基构造，推导概率节流与置信度节流的上界，利用树与蜘蛛图的结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在路径和环上，概率零 forcing 的精确期望传播时间是多少？
• RQ2 对于阶数为 n 的星形图与一般连通图，期望传播时间的渐近界是什么？
• RQ3 概率节流在不同图族中的行为如何？其紧致上下界是什么？
• RQ4 置信度传播时间是什么？它与期望传播时间及置信度节流有何关系？
• RQ5 能否通过选择最优初始顶点集来最小化期望传播时间？图的哪些结构特性会影响这一结果？

主要发现

• 路径 $P_n$ 的期望传播时间为 $\Theta(\log n)$，环 $C_n$ 的期望传播时间也为 $\Theta(\log n)$，且对两者均推导出精确常数。
• 对于星形图 $K_{1,n-1}$，期望传播时间渐近为 $\Theta(\log n)$，与路径和环的情况一致。
• 对于任意阶数为 $n$ 的连通图 $G$，期望传播时间的上界为 $O(\sqrt{n} \log^2 n)$，下界为 $\Omega(\sqrt{n})$。
• 概率节流数为 $\Omega(\sqrt{n})$ 且 $O(\sqrt{n} \log^2 n)$，在路径与环上达到紧致界。
• 对于置信度传播，置信度节流数 $\operatorname{th}(G,\alpha)$ 为 $O(\sqrt{n} \log^2 n)$；对于路径与环，其值为 $\sqrt{2n} + O(\log n)$，其中 $O(\log n)$ 中的常数依赖于 $\alpha$。
• 对于蜘蛛图（仅有一个中心顶点的树），置信度节流数为 $\operatorname{th}_+(T) + O(\log n)$，其中常数依赖于 $\alpha$，表明初始集合大小与传播时间之间存在紧致权衡。