[论文解读] Proper Affine Hyperspheres which fiber over Projective Special Kaehler Manifolds

Oliver Baues, Vicente Cortés|ArXiv.org|May 29, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文证明了在射影特殊凯勒流形上自然的 $S^1$-丛的总空间装备有适当的仿射球结构与相容的Sasakian结构，推广了Hopf纤维丛构造。关键结果表明，总空间的仿射几何编码了底层锥形特殊凯勒几何的所有信息，并将此应用于卡拉比-丘三流形的Kuranishi模空间，构造出洛伦兹型仿射球结构。

ABSTRACT

We show that the natural S^1-bundle over a projective special Kaehler manifold carries the geometry of a proper affine hypersphere endowed with a Sasakian structure. The construction generalizes the geometry of the Hopf-fibration $\Sr^{2n+1} \longrightarrow \CP^n$ in the context of projective special Kaehler manifolds. As an application we have that a natural circle bundle over the Kuranishi moduli space of a Calabi-Yau threefold is a Lorentzian proper affine hypersphere.

研究动机与目标

• 理解与射影特殊凯勒流形相关的典型仿射微分几何。
• 将复射影空间上的Hopf纤维丛构造推广至射影特殊凯勒几何的框架。
• 证明在射影特殊凯勒流形上自然的圆丛总空间是具有相容Sasakian结构的适当仿射球。
• 将该构造应用于卡拉比-丘三流形的Kuranishi模空间，得到洛伦兹型仿射球结构。
• 对Hermitian对称空间上具有传递半单自守群的纤维丛进行分类，得到齐次洛伦兹型仿射球。

提出的方法

• 利用关联锥形特殊凯勒流形 $M$ 上的典型 $\mathbb{R}^*$-作用，在射影特殊凯勒流形 $\bar{M}$ 上构造一个 $S^1$-丛。
• 证明该丛的总空间 $S$ 在 $S^1$-作用下诱导出Sasakian结构。
• 通过验证形状张量条件 $A = \kappa \cdot \mathrm{id}$（$\kappa \neq 0$）证明 $S$ 是适当仿射球，利用仿射与Sasakian结构的相容性。
• 利用仿射微分几何的基本定理，通过可积性条件 $\hat{\nabla}^*$ 的射影平坦性，证明 $S$ 通过Blaschke浸入从 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中导出。
• 利用锥形特殊凯勒几何在 $M$ 上的结构被编码于 $S$ 上的仿射Sasakian几何中这一事实，通过诱导度量与联络实现。
• 将该构造应用于卡拉比-丘三流形的Kuranishi模空间，证明所得丛是洛伦兹型适当仿射球。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影特殊凯勒流形的几何如何通过圆丛构造提升为适当仿射球？
• RQ2 总空间上的Sasakian结构与仿射球的仿射微分几何之间存在何种关系？
• RQ3 在所有此类流形上，射影特殊凯勒流形上$S^1$-丛总空间上的典型仿射球结构能否统一构造？
• RQ4 当该构造应用于卡拉比-丘三流形的Kuranishi模空间时，是否在总空间上得到洛伦兹度量？
• RQ5 哪些在Hermitian对称空间上的纤维丛具有传递半单自守群，并产生齐次洛伦兹型仿射球？

主要发现

• 在射影特殊凯勒流形 $\bar{M}$ 上自然的 $S^1$-丛总空间 $S$ 是具有相容Sasakian结构的适当仿射球。
• 总空间 $S$ 上的仿射几何编码了关联流形 $M$ 上底层锥形特殊凯勒几何的所有信息，建立了几何对偶性。
• 当该构造应用于卡拉比-丘三流形的Kuranishi模空间时，所得结构为洛伦兹型适当仿射球，具有洛伦兹型符号的典型仿射度量。
• 若 $\bar{M}$ 是完备的且 $S$ 上的度量非定号，则存在非平凡的完备模型用于射影特殊凯勒流形，推广了 $\mathbb{C}P^n$ 的情形。
• 对于非紧型Hermitian对称空间 $G/K$，关联的齐次洛伦兹型仿射球 $S = G/\tilde{K}$ 允许紧致Clifford-Klein形式 $S_\Gamma = \Gamma \backslash G / \tilde{K}$，其具有等距的 $S^1$-作用，其轨道空间为 $\bar{M}_\Gamma = \Gamma \backslash G/K$。