[论文解读] Proper connection number and 2-proper connection number of a graph

Fei Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文研究了图的恰当连接数与2-恰当连接数，基于最小度和边数建立了紧致的上界。研究证明，边数至少为$inom{n-3}{2}+4$的稠密图具有恰当连接数2，而边数至少为$inom{n-4}{2}+5$的图其恰当连接数至多为3，为在边着色约束下的连通性提供了精确阈值。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is called a proper path if no two adjacent edges of the path are colored with one same color. An edge-colored graph is called $k$-proper connected if any two vertices of the graph are connected by $k$ internally pairwise vertex-disjoint proper paths in the graph. The $k$-proper connection number of a $k$-connected graph $G$, denoted by $pc_k(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ $k$-proper connected. For $k=1$, we write $pc(G)$ other than $pc_1(G)$, and call it the proper connection number of $G$. In this paper, we present an upper bound for the proper connection number of a graph $G$ in terms of the minimum degree of $G$, and give some sufficient conditions for a graph to have $2$-proper connection number two. Also, we investigate the proper connection numbers of dense graphs.

研究动机与目标

• 确定图的恰当连接数被小常数限制的充分条件。
• 基于最小度和边密度，建立恰当连接数的紧致上界。
• 研究2-恰当连接数，并确定其恰好为2的条件。
• 将恰当路径着色的结果推广至稠密图和高度连通图。
• 为特定边数的图提供恰当连接数的精确阈值。

提出的方法

• 通过基于顶点度和连通性的归纳法与结构分析，研究高边密度图的性质。
• 应用关于二分图2-连通生成子图的已知结果，以界定恰当连接数。
• 采用边计数论证，推导出最小度和连通性较低的图中边数的上界。
• 利用边着色中的强性质，确保顶点对之间存在多条恰当路径。
• 利用稠密图中存在2-连通二分生成子图的性质，建立$pc(G) = 2$。
• 通过移除低度顶点，将问题简化为已知恰当连接数的小图。

实验结果

研究问题

• RQ1 图在保持恰当连接数为2的前提下，最多可拥有多少条边？
• RQ2 在何种条件下，图的2-恰当连接数恰好为2？
• RQ3 图的最小度如何影响其恰当连接数？
• RQ4 何种边密度阈值可保证恰当连接数至多为3？
• RQ5 是否可保证具有特定边数的稠密图具有较小的恰当连接数？

主要发现

• 对于阶$n \geq 14$的连通图$G$，若$|E(G)| \geq \binom{n-3}{2}+4$，则$pc(G) = 2$。
• 对于阶$n \geq 15$的连通图$G$，若$|E(G)| \geq \binom{n-4}{2}+5$，则$pc(G) \leq 3$。
• 最小度不超过5且边密度高的图，其恰当连接数必为2。
• 图的恰当连接数上界为$\Delta(G)+1$，但本文为稠密图建立了更紧致的上界。
• 若图中存在2-连通二分生成子图，则$pc(G) = 2$，该结论被用于推导主要结果。
• 结果是紧致的：存在图在达到边阈值时，其恰当连接数恰好为2或3。