[论文解读] Proper Holomorphic Mappings onto Symmetric Products of a Riemann Surface

Gautam Bharali, Indranil Biswas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Meromorphic and Entire Functions被引用 4

一句话总结

本文证明了在非紧黎曼曲面（n ≥ 2）的n重对称积之间，适当的全纯映射具有刚性：此类映射均由底层曲面之间的适当全纯映射诱导。关键结果表明，任意适当的全纯映射 $F: \mathrm{Sym}^n(X) \to \mathrm{Sym}^n(Y)$ 均可由每个因子上的适当全纯映射 $F_j: X_j \to Y$ 导出，推广了关于平面区域的经典结果，并将在紧黎曼曲面上观察到的刚性现象扩展至非紧情形。

ABSTRACT

We show that the structure of proper holomorphic maps between the $n$-fold symmetric products, $n\geq 2$, of a pair of non-compact Riemann surfaces $X$ and $Y$, provided these are reasonably nice, is very rigid. Specifically, any such map is determined by a proper holomorphic map of $X$ onto $Y$. This extends existing results concerning bounded planar domains, and is a non-compact analogue of a phenomenon observed in symmetric products of compact Riemann surfaces. Along the way, we also provide a condition for the complete hyperbolicity of all $n$-fold symmetric products of a non-compact Riemann surface.

研究动机与目标

• 研究非紧黎曼曲面对称积之间适当全纯映射的结构。
• 将已知于有界平面区域和紧黎曼曲面的刚性结果推广至非紧情形。
• 确定非紧黎曼曲面对称积为拟紧或Kobayashi完备的条件。
• 证明任意非紧黎曼曲面对称积之间的适当全纯映射均由因子上的适当映射导出。
• 在对称积设定下，为紧黎曼曲面的刚性结果（事实1.2）提供非紧类比。

提出的方法

• 使用Remmert–Stein定理及其通过平均值不等式和子列收敛性所作的改编（分析工具i和ii）。
• 利用对称积映射 $\pi_{\mathrm{Sym}}$ 的局部逆，构造映射 $F: X \to \mathrm{Sym}^n(Y)$ 的局部提升至 $Y^n$。
• 应用Riemann可去奇点定理，将乘积域上的亚纯映射延拓为全纯映射。
• 利用单值性与恒等定理，将局部提升整体延拓为仅依赖于第 $j$ 个坐标变量的全局映射 $F_j: X_j \to Y$。
• 借助 $Y$ 的双曲性及其在紧化中的双曲嵌入，将映射 $\tilde{F}_j$ 从 $X \setminus E$ 延拓至 $X_j$。
• 通过原始映射 $F$ 的连续性与适当性，确立所得映射 $F_j$ 的适当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有界平面区域对称积之间适当全纯映射的刚性结果推广至非紧黎曼曲面？
• RQ2 何种条件下非紧黎曼曲面可使其对称积为拟紧或Kobayashi完备？
• RQ3 是否每个非紧黎曼曲面对称积之间的适当全纯映射均由底层曲面之间的适当映射诱导？
• RQ4 此类映射的结构与紧情形有何不同，特别是考虑到Riemann–Hurwitz公式与亏格约束？
• RQ5 用于平面区域的解析技术能否适用于具有 $C^2$-光滑边界的广义非紧黎曼曲面？

主要发现

• $C^2$-光滑边界的连通有边黎曼曲面 $X$ 的 $n$ 重对称积 $\mathrm{Sym}^n(X)$ 对所有 $n \geq 2$ 均为Kobayashi完备，因此亦为拟紧。
• 任意适当的全纯映射 $F: X_1 \times \cdots \times X_n \to \mathrm{Sym}^n(Y)$，其中每个 $X_j$ 是从紧曲面中移除一个非空非离散子集所得的非紧黎曼曲面，且 $Y$ 是具有 $C^2$-光滑边界的有边黎曼曲面，均可分解为 $F = \pi_{\mathrm{Sym}} \circ (F_1, \dots, F_n)$，其中 $F_j: X_j \to Y$ 为适当的全纯映射。
• 映射 $F_j$ 仅依赖于 $X_j$ 上的第 $j$ 个坐标变量，且该分解在 $F_j$ 的排列意义下唯一。
• 每个 $F_j$ 的适当性由 $F$ 的适当性及 $F_j$ 延拓后的连续性所保证。
• 该结果为紧黎曼曲面的刚性结果（事实1.2）提供了非紧类比，将该现象扩展至非紧情形。
• 当 $X$ 为具有 $C^2$-光滑边界的连通有边黎曼曲面时，对称积 $\mathrm{Sym}^n(X)$ 对所有 $n \geq 2$ 均为完全双曲（Kobayashi完备）。