[论文解读] Properly immersed minimal surfaces in a slab of H × R, H the hyperbolic plane

Pascal Collin, Laurent Hauswirth+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文证明了在高度小于π的H × R的柱形区域内，适当浸入的极小曲面在无穷远处为多图；若为嵌入曲面，则其端部为图；若还具有单连通性，则为整体图。该结果在环境柱体高度的几何约束下，将经典图型行为推广至双曲积空间中的极小曲面。

ABSTRACT

Abstract. We prove that the ends of a properly immersed simply or one connected minimal surface in H × R contained in a slab of height less than pi of H × R, are multi-graphs. When such a surface is embedded then the ends are graphs. When embedded and simply connected, it is an entire graph. 1.

研究动机与目标

• 研究H × R中在有界柱体内的适当浸入极小曲面的渐近结构。
• 在几何约束下，确定此类曲面在端部是否表现出图型行为。
• 建立H × R中极小曲面为整体图的条件，从而推广欧几里得空间中的结果。

提出的方法

• 通过内在曲率和渐近分析研究H × R中极小曲面的几何性质。
• 应用最大值原理控制高斯映射和法曲率的行为。
• 利用环境柱体的有界高度（小于π）来约束曲面在无穷远处的振荡。
• 应用Jenkins-Serrin型问题和双曲空间中的调和映射理论。
• 通过曲率和拓扑约束排除非图型端部行为，证明曲面必为多图。
• 利用单连通性或单端假设，将结论强化为嵌入曲面为整体图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界柱体高度下，H × R中适当浸入的极小曲面在无穷远处何时表现出多图行为？
• RQ2 能否证明此类柱体中的嵌入极小曲面具有图型端部？
• RQ3 单连通性假设是否足以使H × R中窄柱体内的嵌入极小曲面成为整体图？
• RQ4 高度约束（小于π）如何影响H × R中极小曲面的全局结构？
• RQ5 H的内在几何在决定H × R中极小曲面的渐近类型中起什么作用？

主要发现

• 在高度小于π的H × R柱体中适当浸入的极小曲面，其端部为多图。
• 若此类曲面为嵌入曲面，则其端部在H上的投影为图。
• 当曲面既为嵌入又单连通时，其为H上的整体图。
• π的高度界是精确的，即超过此界时，多图行为可能不再成立。
• 结果将欧几里得空间中的经典整体图定理推广至双曲积空间设定。