[论文解读] Properties of 1D classical and quantum Ising quasicrystals: rigorous results

William Yessen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2012

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 65被引用 8

一句话总结

本文严格研究了由斐波那契代换序列生成的一维经典与量子伊辛模型的准周期相互作用。通过迹映射形式化与谱论方法，证明了在量子情况下能谱为多重分形（类似康托集），并在经典情况下建立了自由能的解析性以及李-杨零点的康托集结构，证实了相变的缺失并验证了先前的数值观察结果。

ABSTRACT

In this paper we consider one-dimensional classical and quantum spin-1=2 quasiperiodic Ising chains, with two-valued nearest neighbor interaction modulated by a Fibonacci substitution sequence on two letters. In the quantum case, we investigate the energy spectrum of the Ising Hamiltonian, in presence of constant transverse magnetic field, by employing the techniques that were developed in our previous work. In the classical case, we investigate and prove analyticity of the free energy function when the magnetic field, together with interaction strength couplings, is modulated by the same Fibonacci substitution (thus proving absence of phase transitions of any order at finite temperature). We also investigate the distribution of Lee-Yang zeros of the partition function in the complex magnetic field regime, and prove its Cantor set structure (together with some additional qualitative properties), thus providing a rigorous justification for the observations in some previous works. In both, quantum and classical models, we concentrate on the ferromagnetic class.

研究动机与目标

• 严格建立一维量子伊辛链在斐波那契调制相互作用下的能谱多重分形结构。
• 证明具有准周期耦合与磁化强度的古典伊辛链中自由能函数的解析性，暗示相变的缺失。
• 表征复磁化强度平面上李-杨零点的拓扑结构为具有间隙结构的康托集。
• 证明经典与量子模型在斐波那契代换序列的壳上谱的独立性。
• 将先前的数值与启发式结果扩展至基于迹映射动力学的数学严格框架。

提出的方法

• 将迹映射形式化作为三维复流形上的解析映射，以研究转移矩阵的动力学。
• 将量子伊辛哈密顿量映射为雅可比矩阵，利用先前工作中发展的谱论技术分析谱性质。
• 运用GL(2,R)柯 cycle 的李雅普诺夫指数理论，将经典模型中的自由能与动力学不变量关联。
• 应用转移矩阵技术，将配分函数表示为自旋构型上矩阵乘积的迹。
• 使用归纳法建立在周期与反周期边界条件下N步转移矩阵的结构。
• 利用斐波那契序列壳上移位映射下的谱与热力学量的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维量子伊辛链在斐波那契调制相互作用下，其能谱是否表现出多重分形结构？
• RQ2 具有准周期耦合与磁化强度的古典伊辛链中，自由能函数是否解析，暗示无相变？
• RQ3 此类准周期模型在复磁化强度平面上的李-杨零点的拓扑结构为何？
• RQ4 谱与热力学性质是否独立于斐波那契代换序列壳中所选的具体序列？
• RQ5 能否通过迹映射方法严格证明能谱与李-杨零点的康托集型结构？

主要发现

• 证明了具有斐波那契调制耦合的量子伊辛模型的能谱为多重分形，确认并扩展了先前的猜想与数值观察结果。
• 在经典伊辛模型中，自由能函数在热力学极限下为解析函数，暗示在有限温度下不存在任何阶数的相变。
• 配分函数的李-杨零点形成一个具有类似准周期薛定谔算子中研究过的间隙结构的康托集。
• 由于唯一遍历性与谱不变性，谱与自由能独立于斐波那契代换序列壳中序列的选择。
• 在经典情况下，相关GL(2,R)柯 cycle 的李雅普诺夫指数等于自由能，提供了动力系统解释。
• 配分函数被严格表示为转移矩阵乘积的迹，其显式矩阵结构通过系统尺寸的归纳法导出。