[论文解读] Properties of perfect transitive binary codes of length 15 and extended perfect transitive binary codes of length 16

George K. Guskov, F. I. Solov’eva|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过Magma代数系统计算，提供了长度为15的完美传递二元码及其长度为16的扩展版本的全面参考数据集。基于先前的分类工作，该数据集详细列出了两类码的秩、核维数、自同构群阶、对称群阶以及在$C + C$中的特定权重分布，作为现有文献的计算补充。

ABSTRACT

Some properties of perfect transitive binary codes of length 15 and extended perfect transitive binary codes of length 16 are presented for reference purposes.

研究动机与目标

• 整理并发布所有长度为15的完美传递二元码及其长度为16的扩展版本的详细属性。
• 提供此前分类文献中缺失的计算数据——特别是秩、核维数、自同构群阶和对称群阶。
• 为研究完美码及扩展完美传递码的结构与代数性质的研究人员提供参考资源。
• 记录长度为15的码在$C + C$中的权重为3的码字数量，以及长度为16的码在$C + C$中的权重为4的码字数量。
• 通过机器可读的制表符分隔文件，支持对码的对称性、秩和核结构的进一步分析。

提出的方法

• 利用Magma计算代数系统，计算所有长度为15的完美传递二元码及长度为16的扩展完美传递码的属性。
• 从生成矩阵表示中提取每个码的秩和核维数。
• 通过分析保持码结构的置换对称性，计算自同构群的阶。
• 将对称群的阶确定为在坐标置换下保持码结构的群的大小。
• 识别并统计长度为15的码在$C + C$中的权重为3的码字数量，以及长度为16的码在$C + C$中的权重为4的码字数量。
• 将每个码映射到参考文献[1]中分类的索引，以确保可追溯性并保持与先前工作的统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有长度为15的完美传递二元码的完整结构属性（包括秩、核维数、自同构群阶）是什么？
• RQ2 长度为16的扩展完美传递码的自同构群和对称群阶如何变化？
• RQ3 长度为15的完美传递码在$C + C$中的权重为3的码字分布如何？
• RQ4 长度为16的扩展完美传递码在$C + C$中的权重为4的码字分布如何？
• RQ5 这些码的核维数和秩如何与它们的对称性和自同构群结构相关联？

主要发现

• 该数据集包含了所有长度为15的完美传递二元码，每个码均附有其在[1]中分类的索引、秩、核维数、自同构群阶和对称群阶。
• 对于长度为16的扩展完美传递码，数据集提供了索引、秩、核维数、自同构群阶和对称群阶。
• 已计算并记录了每个长度为15的完美传递码在$C + C$中权重为3的码字数量。
• 已计算并记录了每个长度为16的扩展完美传递码在$C + C$中权重为4的码字数量。
• 所有属性均使用Magma系统计算，确保了可重现性，并与先前的分类结果保持一致。
• 结果以制表符分隔的文件形式发布：transitive15.txt 和 transitive16.txt，作为[1]中原始分类工作的参考补充。