[论文解读] Properties of point forecast reconciliation approaches

Shanika L. Wickramasuriya|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2021

Forecasting Techniques and Applications参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文证明了广义最小二乘法（GLS）与MinT预测校正方法尽管最小化不同的损失函数并使用不同的协方差矩阵，却会产生完全相同的解。本文提出了一种新方法MinT-U，其在分层时间序列中的均方误差（MSE）表现优于MinT和OLS，模拟与真实旅游数据均验证了其优越性能，尤其在基础预测存在偏差时表现更佳。

ABSTRACT

Point forecast reconciliation of collection of time series with linear aggregation constraints has evolved substantially over the last decade. A few commonly used methods are GLS (generalized least squares), OLS (ordinary least squares), WLS (weighted least squares), and MinT (minimum trace). GLS and MinT have similar mathematical expressions, but they differ by the covariance matrix used. OLS and WLS can be considered as special cases of MinT where they differ by the assumptions made about the structure of the covariance matrix. All these methods ensure that the reconciled forecasts are unbiased, provided that the base forecasts are unbiased. The ERM (empirical risk minimizer) approach was proposed to relax the assumption of unbiasedness. This paper proves that (a) GLS and MinT reduce to the same solution; (b) on average, a method similar to ERM (which we refer to as MinT-U) can produce better forecasts than MinT (lowest total mean squared error) which is then followed by OLS and then by base; and (c) the mean squared error of each series in the structure for MinT-U is smaller than that for MinT which is then followed by that for either OLS or base forecasts. We show these theoretical results using a set of simulation studies. We also evaluate them using the Australian domestic tourism data set.

研究动机与目标

• 证明尽管损失函数与协方差矩阵使用方式不同，GLS与MinT预测校正方法在理论上具有等价性。
• 评估MinT-U这一新校正方法的性能，该方法放松了投影约束，可实现较MinT与OLS更低的MSE。
• 评估偏差基础预测对校正准确性的影响，并提出一种在平均意义上优于现有方法的校正策略。
• 通过模拟研究与真实世界澳大利亚国内旅游数据验证理论发现。
• 探讨MinT-U在小样本情况下的局限性，并建议未来通过正则化方法加以扩展。

提出的方法

• 从数学上证明，尽管最小化不同的损失函数并使用不同的协方差矩阵，GLS与MinT仍会产生相同的投影矩阵。
• 提出MinT-U作为非基于投影的方法，通过最小化修改后的损失函数以降低预测误差方差。
• 采用模拟研究，比较在不同误差结构下，基础预测、OLS、WLS、MinT、MinT-U与EMinT-U的MSE表现。
• 将方法应用于澳大利亚国内旅游数据集，评估在不同分层水平上的样本内与样本外预测准确性。
• 使用经验拷贝（empirical copulas）与基于置换的方法，评估概率校正中预测的一致性与不确定性。
• 实施正则化技术以解决小样本中参数估计问题，尤其针对MinT-U的估计问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管损失函数与协方差矩阵输入不同，GLS与MinT预测校正方法是否会产生相同的校正结果？
• RQ2 像MinT-U这样的非投影方法是否能在分层时间序列中实现较MinT、OLS与基础预测更低的均方误差？
• RQ3 当基础预测存在偏差时，MinT-U相较于MinT与OLS在MSE降低方面的表现如何？
• RQ4 样本大小对MinT-U性能的影响如何？正则化是否能缓解估计问题？
• RQ5 所提出的方法在真实应用（如旅游预测）中是否能在提升预测准确性的同时保持一致性？

主要发现

• 尽管最小化不同的损失函数并使用不同的协方差矩阵，GLS与MinT产生的预测校正结果完全相同。
• 在模拟与真实数据中，MinT-U在所有分层级别上均持续将校正预测的均方误差（MSE）降低至低于MinT、OLS与基础预测的水平。
• 在澳大利亚旅游数据集中，MinT-U在总量序列上实现10.0%的样本内MSE相对改进，而在第2层的塔斯马尼亚地区最高达12.3%，优于所有其他方法。
• MinT-U在层级中每个序列的MSE均得到降低，样本内性能改进范围为-7.9%至-10.0%，样本外性能改进范围为-10.0%至-6.9%，覆盖多个区域。
• 与MinT相比，MinT-U的改进在统计上显著且一致，其在两个层级的所有序列中均实现了低于MinT的MSE。
• 当基础预测存在偏差时，该方法效果最佳，且其性能对小样本大小敏感，提示实际应用中需引入正则化。