[论文解读] Properties of quantum stochastic walks from the asymptotic scaling exponent

Krzysztof Domino, Adam Glos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文通过分析量子随机游走中行走者位置二阶矩的渐近标度指数 α，提出了一种相干性度量方法。通过分析均方位移 μ₂(t) ∝ t^α，结果表明即使在强全局退相干条件下，弹道行为（α = 2）依然存在，证明了在由 Lindblad 主方程控制、具有可调相干-退相干参数 ω 的广义量子-经典混合模型中，量子相干性具有鲁棒性。

ABSTRACT

This work focuses on the study of quantum stochastic walks, which are a generalization of coherent, i. e. unitary quantum walks. Our main goal is to present a measure of a coherence of the walk. To this end, we utilize the asymptotic scaling exponent of the second moment of the walk i. e. of the mean squared distance covered by a walk. As the quantum stochastic walk model encompasses both classical random walks and quantum walks, we are interested how the continuous change from one regime to the other influences the asymptotic scaling exponent. Moreover this model allows for behavior which is not found in any of the previously mentioned model -- the model with global dissipation. We derive the probability distribution for the walker, and determine the asymptotic scaling exponent analytically, showing that ballistic regime of the walk is maintained even at large dissipation strength.

研究动机与目标

• 通过二阶矩的渐近标度指数，发展一种对量子随机游走中相干性的定量度量方法。
• 研究从相干量子游走到经典随机游走的连续过渡如何影响均方位移的标度行为。
• 分析在标准量子或经典游走中无法实现的全局退相干对游走长时间动力学的影响。
• 推导在局部与全局退相干模型下概率分布和二阶矩的解析表达式。
• 证明弹道行为（α = 2）即使在高退相干强度下仍被保持，表明量子相干性持续存在。

提出的方法

• 研究采用由 Lindblad 主方程控制的量子随机游走模型，其中可调参数 ω ∈ [0,1] 在单位酉演化（ω=0）与纯退相干（ω=1）之间插值。
• 通过计算随时间 t 变化的二阶矩 μ₂(t) = ⟨x²⟩，并利用 μ₂(t) ∝ t^α 提取渐近标度指数 α。
• 对于线段和无限直线，利用傅里叶变换和正交多项式，推导出密度矩阵对角元 ⟨k|ρ(t)|k⟩ 的精确解析表达式。
• 通过概率分布的泰勒级数展开计算中心矩 μₘ(t)，其系数由动量空间上的积分和组合恒等式导出。
• 利用生成函数和组合恒等式（如二项式求和与中心矩恒等式）简化高阶矩表达式。
• 在矩展开中分离出主导项，以确定渐近标度指数，特别是对偶数矩而言。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统通过参数 ω 从量子行为向经典行为过渡时，二阶矩的渐近标度指数 α 如何演化？
• RQ2 在强全局退相干条件下，单位酉量子游走所特有的弹道标度（α = 2）是否仍能保持？
• RQ3 在具有全局退相干的直线上，量子随机游走的概率分布的解析形式是什么？
• RQ4 在全局退相干存在下，高阶矩 μₘ(t) 如何随时间标度，这对游走的动力学有何含义？
• RQ5 全局 Lindblad 算子 LS 在标准局域退相干模型之外，如何在维持量子相干性方面发挥作用？

主要发现

• 即使在完全退相干（ω = 1）条件下，渐近标度指数 α 仍保持为 2（弹道区域），表明全局退相干并未破坏量子相干性。
• 对于所有 ω ∈ [0,1]，二阶矩 μ₂(t) 均按 t² 标度，主导项系数与 (1−ω)^m 成正比，表明在全局退相干下相干性得以保持。
• 对于偶数矩，矩展开的主导项为 βₘ,ω t^m，其中 βₘ,ω = (1−ω)^m × (m choose m/2)，证实了 μₘ(t) 的 t^m 标度行为。
• 通过正交函数和傅里叶积分，精确推导出线段上的概率分布，从而实现矩的解析计算。
• 具有全局退相干（LS）的模型产生了标准经典或量子游走无法实现的动力学，使环境相互作用下出现新型量子行为。
• 分析结果证实，渐近标度指数 α = 2 在整个 ω 范围内均保持鲁棒，表明当退相干为全局时，环境耦合不会破坏相干性。