[论文解读] Properties of Switching Jump Diffusions: Maximum Principles and Harnack Inequalities

Xiaoshan Chen, Zhen-Qing Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了切换跳跃扩散过程的最大值原理与哈纳克不等式，该过程结合了连续动态、Lévy跳跃以及由马氏切换过程控制的模式切换。通过分析相关的非局部积分微分系统，作者推导出研究具有跳跃和状态依赖切换的混合系统中遍历性、遍历性及长期行为所必需的关键解析性质。

ABSTRACT

This work examines a class of switching jump diffusion processes. The main effort is devoted to proving the maximum principle and obtaining the Harnack inequalities. Compared with the diffusions and switching diffusions, the associated operators for switching jump diffusions are non-local, resulting in more difficulty in treating such systems. Our study is carried out by taking into consideration of the interplay of stochastic processes and the associated systems of integro-differential equations.

研究动机与目标

• 为具有非局部生成元的切换跳跃扩散过程开发基本的分析工具——最大值原理与哈纳克不等式。
• 解决由于非局部算子和状态依赖切换带来的复杂性增加问题，这些特性使此类过程与标准扩散过程及切换扩散过程相区别。
• 为研究具有随机跳跃和模式切换的系统中长期行为（包括遍历性与遍历性）奠定理论基础。
• 为分析由此类混合过程产生的耦合积分-偏微分方程组提供严谨框架。

提出的方法

• 分析两分量马氏过程 $(X_t, \bar{L}_t)$，其中 $X_t$ 作为跳跃扩散过程演化，$\bar{L}_t$ 控制模式切换。
• 将该过程的生成元表示为包含漂移、扩散、跳跃与切换分量的非局部积分微分算子系统。
• 应用概率势论与格林算子，建立关联椭圆系统非负解的下界。
• 通过固定半径的球体覆盖论证，将局部哈纳克不等式推广至紧集上的全局估计。
• 采用基于迭代点选择与增长控制的反证法，证明有界性与哈纳克型估计。
• 通过转移概率与 hitting 时间估计，比较不同点处非负解的取值，从而建立哈纳克不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，切换跳跃扩散过程满足强最大值原理？
• RQ2 如何为由模式切换跳跃扩散过程产生的非局部耦合系统建立哈纳克不等式？
• RQ3 在何种条件下，可保证关联椭圆系统非负解的有界性与正则性？
• RQ4 跳跃、切换与非局部性之间的相互作用如何影响该过程的解析性质？
• RQ5 哈纳克不等式能否从局部估计推广到状态空间紧子集上的全局估计？

主要发现

• 对于与切换跳跃扩散过程相关的椭圆系统，非负解满足强最大值原理，即若解在内部取得非负最大值，则其必为常数。
• 建立了非负解的哈纳克不等式，表明紧集内两点处解值的比值被一个依赖于几何结构与参数的绝对常数所控制。
• 证明了哈纳克常数在定义域的紧子集上是一致的，其界依赖于覆盖球的数量以及强椭圆性与跳跃参数。
• 证明依赖于基于迭代点选择与增长控制的反证法，其中除非解有界，否则其值将被证明呈指数增长。
• 结果在状态依赖切换与非局部跳跃分量下具有鲁棒性，将经典扩散过程的结果推广至混合跳跃-扩散系统。
• 该框架支持未来对具有随机跳跃与模式切换系统的遍历性、遍历性及长期平均控制问题的分析。