[论文解读] Properties of Tensor Complementarity Problem and Some Classes of Structured Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 29被引用 26

一句话总结

本文证明了一个非负张量是Q-张量当且仅当其所有主对角线元素均为正，并进一步证明对于非负张量，Q-张量、R-张量、严格半正定张量和R₀-张量四种类别的张量是等价的。该研究为结构化张量及其互补问题提供了基础性刻画，尤其通过对角优势和正性约束，明确了解的存在性与唯一性条件。

ABSTRACT

This paper deals with the class of Q-tensors, that is, a Q-tensor is a real tensor $\mathcal{A}$ such that the tensor complementarity problem $(\q, \mathcal{A})$: $$\mbox{ finding } \x \in \mathbb{R}^n\mbox{ such that }\x \geq \0, \q + \mathcal{A}\x^{m-1} \geq \0, \mbox{ and }\x^ op (\q + \mathcal{A}\x^{m-1}) = 0, $$ has a solution for each vector $\q \in \mathbb{R}^n$. Several subclasses of Q-tensors are given: P-tensors, R-tensors, strictly semi-positive tensors and semi-positive R$_0$-tensors. We prove that a nonnegative tensor is a Q-tensor if and only if all of its principal diagonal entries are positive, and so the equivalence of Q-tensor, R-tensors, strictly semi-positive tensors is showed if they are nonnegative tensors. We also show that a tensor is a R$_0$-tensor if and only if the tensor complementarity problem $(\0, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, and a tensor is a R-tensor if and only if it is a R$_0$-tensor and the tensor complementarity problem $(\e, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, where $\e=(1,1\cdots,1)^ op$.

研究动机与目标

• 刻画Q-张量及其与P-张量、R-张量和严格半正定张量等结构化张量类的关系。
• 建立非负张量为Q-张量的必要与充分条件，重点分析对角优势。
• 澄清张量互补问题（TCP）与R₀-张量之间的关系，特别是当右端项为零向量或全1向量时的情形。
• 在非负性约束下，研究结构化张量类之间的等价性，尤其在对称与非负情形下。

提出的方法

• 引入并分析张量互补问题（TCP）$({\bf q}, \mathcal{A})$，其定义为$\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$，$\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1} \geq \mathbf{0}$，且$\mathbf{x}^\top (\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}) = 0$。
• 利用严格半正定张量的定义，证明一个非负张量是严格半正定张量当且仅当其所有对角线元素均为正。
• 通过反证法证明一个非负Q-张量必须具有所有正的对角线元素。
• 证明一个张量是R₀-张量当且仅当TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$无非零解。
• 证明一个张量是R-张量当且仅当它是R₀-张量且TCP$({\bf e}, \mathcal{A})$无非零解，其中$\mathbf{e} = (1,\dots,1)^\top$。
• 借助Song与Qi（2015）关于拟正定性与半正定性的已知结果，推导出在对称与非负条件下各类张量之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个非负张量是Q-张量？
• RQ2 R₀-张量与TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$可解性之间有何关系？
• RQ3 在非负张量设定下，Q-张量、R-张量、严格半正定张量与R₀-张量四种类别之间存在何种关系？
• RQ4 对称Q-张量的特征值与TCP$({\bf q}, \mathcal{A})$的解之间是否存在关联？
• RQ5 半正定Q-张量是否可能具有至少两个非零分量的非零TCP解？

主要发现

• 一个非负张量$\mathcal{A}$是Q-张量当且仅当其所有主对角线元素$a_{ii\cdots i}$均为正。
• 对于非负张量，Q-张量、R-张量、严格半正定张量与R₀-张量四种类别是等价的。
• 一个张量是R₀-张量当且仅当张量互补问题$({\bf 0}, \mathcal{A})$无非零解。
• 一个张量是R-张量当且仅当它是R₀-张量且张量互补问题$({\bf e}, \mathcal{A})$无非零解。
• 对于非负张量，TCP$({\bf q}, \mathcal{A})$在$\mathbf{q} \geq \mathbf{0}$时的唯一可行解是$\mathbf{x} = \mathbf{0}$。
• 对于对称且非负的张量，Q-张量、R-张量、严格半正定张量、严格拟正定张量与正对角线元素四种类别是等价的。