[论文解读] Properties of the Class of Measure Separable Compact Spaces

Mirna Džamonja, Kenneth Kunen|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 1994

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 25

一句话总结

本文研究了紧致空间的类 $MS$，其中每个正则博雷尔测度都是可分的，证明了紧致序空间和紧致离散空间属于 $MS$，并表明 $MS$ 中的成员资格可能被 $ccc$ 强迫所破坏——具体而言，使用塞林树进行强迫可以在原本属于 $MS$ 的空间中添加一个非可分的拉东测度，即使非成员资格在非 $\omega_1$-坍缩扩张下仍被保持。

ABSTRACT

We investigate properties of the class of compact spaces on which every regular Borel measure is separable. This class will be referred to as MS. We discuss some closure properties of MS, and show that some simply defined compact spaces, such as compact ordered spaces or compact scattered spaces, are in MS. Most of the basic theory for regular measures is true just in ZFC. On the other hand, the existence of a compact ordered scattered space which carries a non-separable (non-regular) Borel measure is equivalent to the existence of a real-valued measurable cardinal less or equal to c. We show that not being in MS is preserved by all forcing extensions which do not collapse omega_1, while being in MS can be destroyed even by a ccc forcing.

研究动机与目标

• 刻画所有正则博雷尔测度均为可分的紧致空间的类 $MS$。
• 研究 $MS$ 在拓扑构造和强迫扩张下的闭包性质。
• 研究非可分测度在紧致序离散空间上的集合论独立性。
• 确定 $MS$ 在强迫下的行为，特别是 $ccc$ 强迫以及塞林树强迫。
• 证明 $MS$ 成员资格在 $ccc$ 强迫下不被保持，即使 $\omega_1$ 被保留。

提出的方法

• 将 $MS$ 定义为所有拉东测度（即正则博雷尔测度）均为可分的紧致豪斯多夫空间的类。
• 利用马哈尔马定理，将非可分测度约化为在正测度的闭子集上支持的处处不可分测度。
• 从阿龙佐扬树 $T$ 的链构造一个科尔斯通紧致空间 $X$，通过映射到 $2^{T \times 2}$。
• 在原始模型中证明 $X \in MS$，方法是证明具有正测度的节点集合是可数的，因此 $X$ 去掉一个零测集后是第二可数的，从而是测度可分的。
• 使用塞林树进行强迫，证明在泛函扩张中 $\Phi(X)$ 包含 $2^{\omega_1}$ 的同胚拷贝，意味着 $\Phi(X) \notin MS$。
• 利用当 $J$ 不可数时 $2^J$ 上的乘积测度是非可分的这一事实，证明强迫后 $MS$ 中的非成员资格成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些拓扑类，如紧致序空间或紧致离散空间，属于 $MS$ 类？
• RQ2 在强迫扩张下，特别是 $ccc$ 强迫下，属于 $MS$ 的性质如何被保持或破坏？
• RQ3 一个紧致序离散空间携带非可分博雷尔测度所需的集合论强度是什么？
• RQ4 一个在原始模型中属于 $MS$ 的空间是否可能在 $ccc$ 强迫扩张后变为非 $MS$？
• RQ5 塞林树的结构如何使得在原始属于 $MS$ 的空间的泛函扩张中构造出非可分测度？

主要发现

• 紧致序空间和紧致离散空间属于 $MS$，因为它们上的每个正则博雷尔测度都是可分的。
• 在紧致序离散空间上存在非可分博雷尔测度，当且仅当存在一个 $\leq c$ 的实值可测基数。
• 在不坍缩 $\omega_1$ 的任何强迫扩张下，非 $MS$ 成员资格均被保持。
• $MS$ 成员资格在 $ccc$ 强迫下不被保持：使用塞林树进行强迫可能破坏 $MS$ 成员资格。
• 使用塞林树进行强迫会在一个属于 $MS$ 的科尔斯通紧致空间 $X$ 中添加一个同胚于 $2^{\omega_1}$ 的拷贝，意味着在扩张中 $\Phi(X) \notin MS$。
• 在原始模型中，$X$ 属于 $MS$，因为具有正测度的节点集合是可数的，因此 $X$ 去掉一个零测集后是第二可数的，从而是测度可分的。