[论文解读] Properties of the Hyper-Wiener index as a local function

Ya-Hong Chen Hua Wang, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Graph theory and applications参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文引入并分析了树中局部超Wiener指标，定义为 $ww_G(v) = \sum_{u \in V(G)} (d^2(u,v) + d(u,v))$，并将其与广泛研究的局部Wiener指标进行类比。文章建立了超中心（最小化 $ww_T(v)$ 的顶点）的性质，推导了递归公式，并研究了诸如 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 等极值比值（其中 $w$ 为叶顶点，$v$ 为超中心顶点），并针对各种条件提出了关于极值树结构的猜想。

ABSTRACT

Hyper-Wiener index was introduced as one of the main generalizations of the well known Wiener index. Through the years properties of the Wiener index have been extensively studied in both Mathematics and Chemistry. The Hyper-Wiener index, although received much attention, is far from being thoroughly examined due to its complex definition. We consider the local version of the Hyper-Wiener index ($WW(G)$), defined as $ww_G(v)=\sum\limits_{u\in V(G)}(d^2(u,v)+d(u,v))$ for a vertex $v$ in a graph $G$, in trees. For established results on the Wiener index ($W(.)$), we present analogous studies on $WW(.)$. In addition to interesting observations, some conjectures and questions are also proposed.

研究动机与目标

• 将局部距离函数的研究从Wiener指标扩展到树中的超Wiener指标。
• 定义并研究树的超中心，即最小化局部超Wiener指标 $ww_T(v)$ 的顶点集合。
• 建立与已知Wiener指标性质类似的结构与极值性质，特别是关于顶点中心性与基于距离的比值。
• 针对比值 $ww_T(w)/ww_T(v)$（其中 $w$ 为叶顶点，$v$ 属于超中心 $C_w(T)$）的最大化或最小化问题，提出猜想与开放问题。

提出的方法

• 引入局部超Wiener指标 $ww_G(v) = \sum_{u \in V(G)} (d^2(u,v) + d(u,v))$ 作为图中顶点的特定函数。
• 将超中心 $C_w(T)$ 定义为树 $T$ 中使 $ww_T(v)$ 最小的顶点集合，类似于重心与中心的定义。
• 推导递归公式：$ww_T(v) = 2(n-1) + 2\sum_{i=1}^k w_{T_i}(v_i) + \sum_{i=1}^k ww_{T_i}(v_i)$，其中 $T_i$ 为以 $v$ 的邻居为根的子树。
• 建立超中心中顶点的不等式，表明对每个邻居 $v_i$，有 $\sum_{y \in V(T-T_i)} d_T(v,y) + n - n_i \geq \sum_{x \in V(T_i)} d_T(v,x)$。
• 通过计算验证与结构分析，识别出比值极值问题的极值树。
• 基于小阶数树中的观察模式，提出猜想，特别是关于路径状结构附加悬垂边的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 使比值 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 最大的树的结构是什么？其中 $w$ 为叶顶点，$v$ 属于超中心 $C_w(T)$？
• RQ2 使比值 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 最小的树的结构是什么？其中 $w$ 为叶顶点，$v$ 属于超中心 $C_w(T)$？
• RQ3 对于 $n \geq 7$，使 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 最小的极值树是否与在长度为 $n-1$ 的路径中点处附加一个悬垂边的路径相同？
• RQ4 超中心 $C_w(T)$ 与树的经典重心 $C(T)$ 及中心在结构与极值性质方面有何关系？
• RQ5 Jordan 关于重心的定理能否推广到超中心，并获得类似简洁的刻画？

主要发现

• 超中心 $C_w(T)$ 定义良好，即最小化 $ww_T(v)$ 的顶点集合，且至少包含一个经典重心 $C(T)$ 中的顶点。
• 对任意三个构成路径 $x-z-y$ 的顶点 $x,y,z$，有不等式 $2ww_T(z) < ww_T(x) + ww_T(y)$ 成立，表明 $ww_T(v)$ 沿路径具有严格凸性。
• 在小规模情况（$n \leq 10$）下，使 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 最大的极值树与Wiener指标情况下的极值树相同，表明其结构相似。
• 当 $n=5$ 时，最大比值 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 为 $13/6$，由路径 $P_5$ 实现；当 $n=6$ 时，最大比值为 $23/11$，由中心度为3的顶点连接三个叶顶点的树实现。
• 当 $n=5$ 时，最小比值为 $13/6$；当 $n=6$ 时，为 $23/11$；当 $n=7$ 时，为 $29/15$，其极值结构类似于中心路径附加一个悬垂边。
• 本文猜想：当 $n \geq 7$ 时，使 $ww_T(w)/ww_T(v)$ 最小的树是通过在路径 $P_n$ 的中间顶点处附加一个悬垂边形成的。