[论文解读] Property (T) for groups graded by root systems

Mikhail Ershov, Andrei Jaikin‐Zapirain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 14

一句话总结

本论文证明了，对于有限生成的交换环上秩 ≥ 2 的约化不可约经典根系，其对应的 Steinberg 群与初等 Chevalley 群均具有 Kazhdan 的性质 (T)。作者引入了根系分级群的概念，并证明在非退化条件下，根子群的并集构成一个 Kazhdan 子集，从而通过谱准则与群扩张推导出完整群的相对性质 (T)，最终得到性质 (T)。

ABSTRACT

We introduce and study the class of groups graded by root systems. We prove that if Φ is an irreducible classical root system of rank at least 2 and G is a group graded by Φ, then under certain natural conditions on the grading, the union of the root subgroups is a Kazhdan subset of G. As the main application of this theorem we prove that for any reduced irreducible classical root system Φ of rank at least 2 and a finitely generated commutative ring R with 1, the Steinberg group St_Φ(R) and the elementary Chevalley group E_Φ(R) have property (T). We also show that there exists a group with property (T) which maps onto all finite simple groups of Lie type and rank at least 2, thereby providing a "unified" proof of expansion in these groups.

研究动机与目标

• 建立与秩 ≥ 2 的经典根系相关的 Steinberg 群和初等 Chevalley 群的 Kazhdan 性质 (T)。
• 发展群关于根系分级的一般框架，并分析其结构与表示论性质。
• 在非退化条件下，证明此类群中根子群的并集构成一个 Kazhdan 子集。
• 构造一个具有性质 (T) 的“母群”，其能满同态到所有秩 ≥ 2 的李型有限单群，统一其膨胀性质。
• 通过共轭距离估计与 Hilbert-Schmidt 范数，将相对性质 (T) 的谱准则推广至幂零群与 Borel 子群。

提出的方法

• 引入群关于根系分级的概念，推广 Chevalley 群与 Steinberg 群，并为每个根定义相应的根子群。
• 利用与 Weyl 群和根系相关的图上的拉普拉斯算子的谱准则，分析相对性质 (T)。
• 通过 Hilbert-Schmidt 范数与群作用，估计幂零群与 Borel 子群中的共轭距离与正交性常数。
• 将相对性质 (T) 的技术应用于群扩张与半直积，特别是涉及 Steinberg 群与阿贝尔模的情形。
• 通过对合与分级自同构，在非交换环上构造 $^2D_n$、$^2F_4$ 与 $^2,^2A_{2n-1}$ 类型的扭群。
• 通过根系的约化与良好约化，将有界秩情形的结果推广至无界秩情形，最终构造出一个具有性质 (T) 的通用母群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种根系分级条件下，根子群的并集构成群中的 Kazhdan 子集？
• RQ2 当 $\Phi$ 为秩 ≥ 2 的约化不可约经典根系，$R$ 为有限生成的交换环时，能否建立 Steinberg 群 $\operatorname{St}_\Phi(R)$ 与初等 Chevalley 群 $\mathbb{E}_\Phi(R)$ 的性质 (T)？
• RQ3 是否存在一个具有性质 (T) 的单一群，其能满同态到所有秩 ≥ 2 的李型有限单群？
• RQ4 如何利用幂零群与 Borel 子群中的谱准则与共轭距离估计，推导群扩张的相对性质 (T)？
• RQ5 分级自同构与扭群构造在将性质 (T) 推广至非经典或酉型群中起到何种作用？

主要发现

• 对于任意秩 ≥ 2 的约化不可约经典根系 $\Phi$ 与有限生成的交换环 $R$，Steinberg 群 $\operatorname{St}_\Phi(R)$ 与初等 Chevalley 群 $\mathbb{E}_\Phi(R)$ 均具有 Kazhdan 的性质 (T)。
• 当群 $G$ 关于根系 $\Phi$ 满足非退化条件时，根子群的并集 $\bigcup_{\alpha \in \Phi} X_\alpha$ 构成 $G$ 的 Kazhdan 子集。
• 存在一个具有性质 (T) 的“母群”，其能满同态到所有秩 ≥ 2 的李型有限单群，为这些群的膨胀性质提供了统一证明。
• 在半直积 $\Gamma = (\operatorname{St}_p(R) \times \operatorname{St}_q(R)) \ltimes N^{pq}$ 中，对偶 $(\Gamma, N^{pq})$ 的相对 Kazhdan 常数满足 $\kappa_r(\Gamma, N^{pq}; F) > \frac{1}{2K(k,d,p,q)}$，其中 $K(k,d,p,q) = 50(\sqrt{k} + \sqrt{d} + \sqrt{p} + \sqrt{q})$。
• 证明依赖于 Weyl 图上的拉普拉斯算子的谱准则，以及通过 Hilbert-Schmidt 范数对幂零群与 Borel 子群中共轭距离的估计。
• 在具有对合的非交换环上，$^2D_n$、$^2F_4$ 与 $^2,^2A_{2n-1}$ 类型的扭群也具有相对性质 (T)，从而将框架扩展至非交换环。