[论文解读] Proportionality principle for the simplicial volume of families of Q-rank 1 locally symmetric spaces

Michelle Bucher, Инканг Ким+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了当单连通覆叠为实双曲空间乘积时，Q-秩 1 局部对称空间中黎曼体积与局部有限单纯体积之间的比例性原理，即使余维群非阿贝尔时也成立。通过有界上同调及连续有界上同调与普通上同调之间的比较映射，作者证明了单纯体积等于体积除以单连通覆叠上体积形式的ess sup范数，将已知结果推广至非阿贝尔余维群的情形。

ABSTRACT

We establish the proportionality principle between the Riemannian volume and locally finite simplicial volume for Q-rank 1 locally symmetric spaces covered by products of hyperbolic spaces, giving the first examples for manifolds whose cusp groups are not necessarily amenable. Also, we give a simple direct proof of the proportionality principle for the locally finite simplicial volume and the relative simplicial volume of Q-rank 1 locally symmetric spaces with amenable cusp groups established by Löh and Sauer.

研究动机与目标

• 将 Q-秩 1 局部对称空间中单纯体积的比例性原理从阿贝尔余维群推广至非阿贝尔余维群。
• 建立局部有限单纯体积与单连通覆叠上体积形式的 ess sup 范数所除的黎曼体积之间的等式关系。
• 通过有界上同调技术提供一个自包含的证明，避免依赖测度同调或多重复形。
• 证明在余维基本群为非阿贝尔的可约 Q-秩 1 局部对称空间中，比例性原理依然成立。
• 确认在先前基于阿贝尔性的方法失效的情况下，比例性原理依然有效。

提出的方法

• 作者通过在单连通覆叠 $\widetilde{M}$ 上对体积形式 $\omega_{\widetilde{M}}$ 沿测地线单形进行积分，定义了一个有界的 $H$-不变上循环 $\Theta$。
• 他们证明 $\Theta$ 确定一个连续有界上同调类 $[\Theta]^{H}_{b}$ 属于 $H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$，该类在比较映射下映射到体积类 $\omega_{\widetilde{M}}$。
• 通过假设比较映射 $c: H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon}) \to H^{n}_{c}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$ 是同构，他们利用对偶性将有界上同调类与单纯体积联系起来。
• 他们利用局部有限链上的测地线拉直映射，将基本链的 $\ell^1$-同调类与 $\Theta$ 配对，证明该配对结果为 $\mathrm{Vol}(M)$。
• 他们导出不等式 $\|M\|_{\mathrm{lf}} \geq \mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$，并通过有界上同调框架下的反向不等式证明等式成立。
• 该证明依赖于由 $H$ 的单位分支 $G$ 和格 $\Gamma$ 的包含关系所诱导的上同调群的等距嵌入，且保持范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于余维群为非阿贝尔的 Q-秩 1 局部对称空间，黎曼体积与局部有限单纯体积之间的比例性原理是否成立？
• RQ2 是否可以使用独立于测度同调或格罗莫夫多重复形的有界上同调技术建立比例性原理？
• RQ3 对于实双曲空间的乘积，连续有界上同调与连续上同调之间的比较映射在上度是否为同构？
• RQ4 对于单连通覆叠为 R-秩 1 对称空间乘积的 Q-秩 1 局部对称空间，其单纯体积是否等于 $\mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$？
• RQ5 比例性原理是否可以推广至余维群为非阿贝尔的可约 Q-秩 1 局部对称空间？

主要发现

• 比例性原理对单连通覆叠为实双曲空间乘积 $\mathbb{H}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{H}^{n_k}$ 且 $n_i \geq 2$ 的 Q-秩 1 局部对称空间成立，即使余维群为非阿贝尔时亦然。
• 在比较映射 $c: H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon}) \to H^{n}_{c}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$ 为同构的假设下，局部有限单纯体积满足 $\|M\|_{\mathrm{lf}} = \mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$。
• 该证明提供了一个直接且自包含的论证，使用有界上同调技术，避免了 Löh 和 Sauer 所采用的离散逼近方法。
• 通过上同调限制链与比较映射下的范数保持性，建立了等式 $\|\omega_M\|^\infty = \|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$。
• 该结果确认了比例性原理可推广至余维基本群为非阿贝尔的可约 Q-秩 1 局部对称空间。
• 该工作支持了如下猜想：无论余维群是否阿贝尔，比例性原理对所有 Q-秩 1 局部对称空间均成立。