[论文解读] Propositional Logics Complexity and the Sub-Formula Property

Edward Hermann Hæusler|Jan 31, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文证明，任何满足子公式性质的命题（可能为模态）结构逻辑，若其自然演绎系统也满足该性质，则其有效性问题属于PSPACE；若该逻辑包含最小逻辑的纯蕴含片段（$\mathbf{M}{\rightarrow}$），则其有效性问题为PSPACE完全。关键贡献在于提出一种证明论方法，将子公式原则与计算复杂度界联系起来，扩展了Statman的结果，并表明有限多值逻辑的重言式集合也属于PSPACE。

ABSTRACT

In 1979 Richard Statman proved, using proof-theory, that the purely implicational fragment of Intuitionistic Logic (M-imply) is PSPACE-complete. He showed a polynomially bounded translation from full Intuitionistic Propositional Logic into its implicational fragment. By the PSPACE-completeness of S4, proved by Ladner, and the Goedel translation from S4 into Intuitionistic Logic, the PSPACE- completeness of M-imply is drawn. The sub-formula principle for a deductive system for a logic L states that whenever F1,...,Fk proves A, there is a proof in which each formula occurrence is either a sub-formula of A or of some of Fi. In this work we extend Statman result and show that any propositional (possibly modal) structural logic satisfying a particular formulation of the sub-formula principle is in PSPACE. If the logic includes the minimal purely implicational logic then it is PSPACE-complete. As a consequence, EXPTIME-complete propositional logics, such as PDL and the common-knowledge epistemic logic with at least 2 agents satisfy this particular sub-formula principle, if and only if, PSPACE=EXPTIME. We also show how our technique can be used to prove that any finitely many-valued logic has the set of its tautologies in PSPACE.

研究动机与目标

• 基于子公式性质，建立命题逻辑中PSPACE成员关系的一般证明论准则。
• 将Statman对直觉逻辑蕴含片段的PSPACE完全性结果扩展到更广泛的结构逻辑类别。
• 证明任何有限多值逻辑的重言式集合均可通过证明论技术归入PSPACE。
• 研究EXPTIME完全逻辑（如PDL和多 agent 共识知识模态逻辑）在何种条件下可满足子公式原则，从而将其与PSPACE与EXPTIME的关系联系起来。
• 探讨该方法在带标签的自然演绎系统及逻辑的一阶片段中的可行性。

提出的方法

• 形式化自然演绎中引入规则与消除规则的一般框架，允许通过此类规则定义任意逻辑常量。
• 将子公式原则定义为对推导的约束：推导中所有公式出现都必须是结论或前提的子公式。
• 通过仅涉及子公式的推导进行多项式空间有界搜索，利用子公式性质来限制搜索空间。
• 应用此技术证明任何满足子公式性质的逻辑的有效性问题属于PSPACE。
• 通过已知PSPACE完全问题的归约，证明若该逻辑包含$\mathbf{M}{\rightarrow}$，则其有效性问题为PSPACE完全。
• 通过证明在所有赋值下的真值评估可在多项式空间内完成，并复用空间，将该方法扩展至有限多值逻辑。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，命题逻辑的自然演绎系统可使有效性问题属于PSPACE？
• RQ2 仅子公式性质是否足以保证逻辑的PSPACE成员关系，即使引入与消除规则之间不存在完全和谐？
• RQ3 $\mathbf{M}{\rightarrow}$的PSPACE完全性是否足以推出其扩展逻辑的PSPACE完全性？
• RQ4 子公式性质与EXPTIME完全逻辑（如PDL和至少两个agent的共识知识模态逻辑）的复杂度类之间存在何种关系？
• RQ5 该证明论方法能否扩展至模态逻辑与认识论逻辑中使用的带标签自然演绎系统？

主要发现

• 任何具有满足子公式性质的自然演绎系统的命题逻辑，其有效性问题属于PSPACE。
• 若一逻辑包含最小逻辑的纯蕴含片段（$\mathbf{M}{\rightarrow}$），则其有效性问题为PSPACE完全。
• 任何有限多值逻辑的有效性问题属于PSPACE，因为公式的真值评估可在多项式空间内计算并复用空间。
• EXPTIME完全逻辑（如PDL和至少两个agent的共识知识模态逻辑）满足子公式原则，当且仅当PSPACE = EXPTIME。
• 该方法无需引入逆原则或引入与消除规则之间的完全和谐，仅依赖于子公式性质与一般规则框架。