[论文解读] PROPs for involutive monoids and involutive bimonoids

Daniel Graves|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Advanced Algebra and Logic被引用 6

一句话总结

本文引入一个 PROP，记为 $ Q = \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $，该 PROP 由 involutive 非交换集合的 PROP 及其对偶通过分配律构造而成，用于编码 involutive 半群与余半群结构之间的相容性。关键结果是：在任意对称单子范畴中，$ Q $-代数的范畴与 involutive 双半群的范畴等价，从而为这类结构提供了范畴论框架下的普遍代数结构。

ABSTRACT

The category of involutive non-commutative sets encodes the structure of an involution compatible with a (co)associative (co)multiplication. We prove that the category of involutive bimonoids in a symmetric monoidal category is equivalent to the category of algebras over a PROP constructed from the category of involutive non-commutative sets.

研究动机与目标

• 通过 PROPs 在对称单子范畴中提供 involutive 双半群的普遍代数描述。
• 通过引入 involutive 结构，扩展先前关于双代数 PROPs 的工作。
• 通过双范畴的双态射形式化 involutive 半群与余半群结构之间的相容性。
• 建立 $ Q $-代数与 involutive 双半群之间的范畴等价，推广 Pirashvili 与 Lack 的方法。

提出的方法

• 通过广义 Quillen $ Q $-构造，从 involutive 非交换集合的范畴构造 PROP $ \mathcal{IF}(as) $。
• 定义一个双范畴 $ \mathcal{IF}(as)_2 $，其双态射编码 involutive 半群与余半群运算之间的相容性条件。
• 通过分配律构造复合 PROP $ Q = \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $，确保 involutive 半群与余半群结构之间的相容性。
• 利用分配律将态射定义为 $ \mathcal{IF}(as) \otimes \mathcal{IF}(as)^{op} $ 中跨度的等价类，其中等价关系由中间对象上的双射给出。
• 借助 Lack 的复合 PROPs 理论，证明 $ Q $-代数恰好对应于 involutive 双半群。
• 验证 $ \mathcal{IF}(as)_2 $ 中双态射的相容性条件与 involutive 双半群的基本公理完全对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称单子范畴中通过 PROP 全面捕捉 involutive 双半群的结构？
• RQ2 involutive 非交换集合在生成 involutive 半群的 PROP 中扮演何种角色？
• RQ3 如何在 PROP 框架中代数化地编码 involutive 半群与余半群结构之间的相容性？
• RQ4 通过分配律构造的复合 PROP 是否能完整捕捉 involutive 双半群的结构？
• RQ5 双范畴的双态射与最终构造的 PROP 的普遍性质之间存在何种关系？

主要发现

• 在对称单子范畴 $ \mathbf{C} $ 中，$ Q $-代数的范畴与 $ \mathbf{C} $ 中 involutive 双半群的范畴等价，从而确立了 $ Q $ 作为该结构的普遍 PROP。
• PROP $ Q $ 作为复合 $ \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $ 构造而成，其中分配律确保了 involutive 半群与余半群运算之间的相容性。
• 双范畴 $ \mathcal{IF}(as)_2 $ 中的基本双态射编码了 involutive 双半群所必需的相容性公理。
• 该等价性在态射下保持不变：范畴 $ \mathbf{C} $ 中的一个态射是 involutive 双半群的态射，当且仅当它保持 $ Q $-代数结构。
• 该构造推广了先前关于双代数 PROPs 以及交换/余交换双半群的结果，其中 $ Q_{\mathcal{V}} $、$ Q_{\mathcal{H}} $ 与 $ Q_{\mathcal{IF}} $ 分别给出了交换、余交换及交换-余交换 involutive 双半群的相应普遍 PROPs。
• 证明依赖于验证由基本双态射诱导的图表的交换性，这些图表恰好对应于 involutive 双半群的公理。