[论文解读] Provably accurate simulation of gauge theories and bosonic systems

Yu Tong, Victor V. Albert+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文提出了一种可证明准确的方法，用于模拟规范场理论和自旋系统，通过在时间演化过程中限制局部量子数（如玻色子占据数或电场）的增长。结果表明，截断阈值 Λ 与误差的倒数呈多对数关系（Λ = polylog(ε⁻¹)），相比基于能量的界实现了指数级改进，并使得量子算法的门复杂度接近线性或二次方，具体取决于系统类型。

ABSTRACT

Quantum many-body systems involving bosonic modes or gauge fields have infinite-dimensional local Hilbert spaces which must be truncated to perform simulations of real-time dynamics on classical or quantum computers. To analyze the truncation error, we develop methods for bounding the rate of growth of local quantum numbers such as the occupation number of a mode at a lattice site, or the electric field at a lattice link. Our approach applies to various models of bosons interacting with spins or fermions, and also to both abelian and non-abelian gauge theories. We show that if states in these models are truncated by imposing an upper limit $Λ$ on each local quantum number, and if the initial state has low local quantum numbers, then an error at most $ε$ can be achieved by choosing $Λ$ to scale polylogarithmically with $ε^{-1}$, an exponential improvement over previous bounds based on energy conservation. For the Hubbard-Holstein model, we numerically compute a bound on $Λ$ that achieves accuracy $ε$, obtaining significantly improved estimates in various parameter regimes. We also establish a criterion for truncating the Hamiltonian with a provable guarantee on the accuracy of time evolution. Building on that result, we formulate quantum algorithms for dynamical simulation of lattice gauge theories and of models with bosonic modes; the gate complexity depends almost linearly on spacetime volume in the former case, and almost quadratically on time in the latter case. We establish a lower bound showing that there are systems involving bosons for which this quadratic scaling with time cannot be improved. By applying our result on the truncation error in time evolution, we also prove that spectrally isolated energy eigenstates can be approximated with accuracy $ε$ by truncating local quantum numbers at $Λ= extrm{polylog}(ε^{-1})$.

研究动机与目标

• 解决由于玻色子模式或规范场导致局部希尔伯特空间无限维而带来的量子系统模拟挑战。
• 建立一个严格的框架，用于在时间演化过程中限制局部量子数的增长，以确保模拟的准确性。
• 提出一种可证明准确的截断方法，显著优于基于能量的误差界。
• 设计用于格点规范场理论和玻色子模型动力学模拟的量子算法，其门复杂度接近最优。

提出的方法

• 利用一种新颖的分析框架，推导出局部量子数（如占据数、电场）增长速率的界，该框架适用于广泛的一类模型。
• 应用马尔可夫不等式和基于能量的约束，推导出一个截断阈值 Λ，以确保模拟误差 ≤ ε。
• 制定哈密顿量截断的标准，当初始态具有较低的局部量子数时，可保证时间演化准确。
• 利用推导出的界，构建门复杂度几乎随时空体积线性增长（对于规范场理论）或几乎随时间二次增长（对于玻色子系统）的动力学模拟量子算法。
• 建立下界，证明对于某些玻色子系统，时间上的二次方复杂度无法进一步改进。
• 利用能量本征态的谱隔离性，证明在 Λ = polylog(ε⁻¹) 处截断即可充分逼近本征态，误差 ≤ ε。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在玻色子和规范场论系统的时间演化过程中，可证明地限制局部量子数的增长？
• RQ2 为实现模拟误差 ≤ ε 所需的最小截断阈值 Λ 是多少？其与精度和系统大小的关系如何？
• RQ3 我们能否构建用于格点规范场理论和玻色子模型动力学模拟的量子算法，其门复杂度接近最优？
• RQ4 Λ 与 ε⁻¹ 呈多对数关系是否优于基于能量的界？在何种条件下成立？
• RQ5 我们能否证明玻色子模拟中时间的二次方复杂度是最优的？这对算法设计有何影响？

主要发现

• 为实现模拟误差 ≤ ε 所需的截断阈值 Λ 与 ε⁻¹ 呈多对数关系（Λ = polylog(ε⁻¹)），相比以往基于能量的界（其随 ε⁻¹ 多项式增长）实现了指数级改进。
• 对于 Hubbard-Holstein 模型，数值结果表明，所提方法所得的 Λ 显著低于基于能量的估计值，尤其在系统尺寸较大或精度要求更高时更为明显。
• 针对格点规范场理论的量子算法实现了门复杂度几乎随时空体积线性增长，从而实现了高效模拟。
• 对于含玻色子模式的模型，门复杂度几乎随时间二次增长，且通过下界证明该复杂度为最优。
• 通过在 Λ = polylog(ε⁻¹) 处截断局部量子数，可对谱隔离的能量本征态以误差 ≤ ε 进行逼近，证实了其在静态性质上的鲁棒性。
• 该方法广泛适用于阿贝尔与非阿贝尔规范场理论，以及 Hubbard-Holstein、Fröhlich 和 Dicke 等模型，但不适用于如 φ⁴ 理论等相互作用标量场理论。