[论文解读] Proving homological stability for homeomorphisms of manifolds

Alexander Kupers|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文建立了至少六维的单连通拓扑流形的同调稳定性，适用于同胚群，通过适配 Galatius-Randal-Williams 对微分同胚群的论证方法。证明了这些群的分类空间在与 $S^n \times S^n$ 进行连通和后，其同调趋于稳定，通过 McDuff 定理和障碍理论，将结果推广至 PL 同胚群和离散同胚群。

ABSTRACT

Following the argument for diffeomorphisms by Galatius and Randal-Williams, we prove that homeomorphisms of 1-connected manifolds of even dimension at least 6 exhibit homological stability. We deduce similar results for PL homeomorphisms and homeomorphisms as a discrete group.

研究动机与目标

• 将高维流形微分同胚群的同调稳定性结果推广至拓扑流形的同胚群。
• 建立单连通拓扑流形（维数 $2n \geq 6$）PL 同胚群的同调稳定性。
• 证明此类流形的离散同胚群分类空间在相同稳定化过程中也表现出同调稳定性。
• 为将其他同调稳定性结果从光滑范畴推广至拓扑与 PL 范畴，提供基础工具与参考文献。

提出的方法

• 通过参数化同胚延拓与微丛横截性，将 Galatius-Randal-Williams 对微分同胚群的论证方法适配至拓扑范畴。
• 利用障碍理论与稳定同胚定理，关联流形上 PL 与拓扑结构，尤其在 $n \geq 3$ 维情形。
• 应用 McDuff 定理，即离散群与连续群的分类空间之间存在同调等价，将结果推广至离散同胚群。
• 通过与 $S^n \times S^n$ 的连通和构造稳定化映射，定义一系列分类空间，其同调在指定范围内趋于稳定。
• 依赖于当 $H^3(W; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$ 或 $W$ 为 3-连通时，$B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W)$ 的弱同构。
• 利用 $B{\rm TOP}(2n)$ 的 $n$-连通覆盖及其对应的 Thom 线丛 $MT(\theta^{\rm TOP})$，推测稳定同调类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分同胚群的同调稳定性论证是否可推广至高维拓扑流形的同胚群？
• RQ2 能否在单连通拓扑流形（维数 $2n \geq 6$）上，对 PL 同胚群建立相同的稳定性结果？
• RQ3 此类流形的离散同胚群的分类空间是否也表现出同调稳定性？
• RQ4 高维流形上 PL 与拓扑结构之间的关系如何？其对同胚群的同伦与同调有何影响？
• RQ5 光滑情形中使用的扫描技术能否被适配，以计算拓扑与 PL 同胚群的稳定同调？

主要发现

• 对于单连通拓扑流形（维数 $2n \geq 6$），$B{\rm TOP}_{\partial}(M\#_g(S^n \times S^n))$ 的同调在范围 $* \leq \frac{g-3}{2}$ 内趋于稳定，且在 $* \leq \frac{g-1}{2}$ 范围内存在满射。
• 通过弱同构 $B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W)$，当 $H^3(W; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$ 或 $W$ 为 3-连通时，结果可推广至 PL 同胚群。
• 离散同胚群满足同调稳定性，由 McDuff 的同调等价性 $B{\rm TOP}^\delta$ 与 $B{\rm TOP}$ 所证明。
• 推测 $B{\rm TOP}_{\partial}(W_{g,1})$ 的稳定同调与 Thom 线丛 $MT(\theta^{\rm TOP})$ 的无限环空间的某个分支的同调同构。
• 映射 $B{\rm DIFF}_{\partial}(W_{g,1}) \to B{\rm TOP}_{\partial}(W_{g,1})$ 在 $* \leq \frac{g-4}{2}$ 范围内对有理上同调是满射，在 $* \leq \min(\frac{2n-7}{2}, \frac{2n-4}{3})$ 范围内为分裂单射，支持了推测的稳定同调识别。
• 在高维情形下，PL 与拓扑范畴密切相关：当 $n \geq 3$ 时，$B{\rm PL}(2n)\langle n\rangle \to B{\rm TOP}(2n)\langle n\rangle$ 是弱同构；当 $W$ 为 3-连通时，$B{\rm PL}_{\partial}(W) \to B{\rm TOP}_{−}(W)$ 也是弱同构。