[论文解读] Proximal calculus on Riemannian manifolds, with applications to fixed point theory

Daniel Azagra, Juan Ferrera|ArXiv.org|Mar 26, 2004

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了黎曼流形上非光滑函数的近似次微分微积分，使我们能够建立关于扩张映射和非扩张映射的新不动点定理。主要贡献在于，在具有正注入半径的完备（可能非紧致）流形上，基于曲率和导数有界条件，提出了映射复合与扰动的新不动点结果。

ABSTRACT

We introduce a proximal subdifferential and develop a calculus for nonsmooth functions defined on any Riemannian manifold $M$. We give several applications of this theory, concerning: 1) differentiability and geometrical properties of the distance function to a closed subset $C$ of $M$; 2) solvability and implicit function theorems for nonsmooth functions on $M$; 3) conditions on the existence of a circumcenter for three different points of $M$; and especially 4) fixed point theorems for expansive and nonexpansive mappings and certain perturbations of such mappings defined on $M$.

研究动机与目标

• 为黎曼流形上下半连续函数发展近似次微分微积分，扩展希尔伯特空间分析中的工具。
• 建立流形上到闭子集的距离函数的变分原理与可微性性质。
• 证明黎曼流形上非光滑函数的可解性与隐函数定理。
• 推导黎曼流形上三点外心存在的条件。
• 在完备黎曼流形上，建立关于非扩张与扩张映射及其小扰动的新不动点定理。

提出的方法

• 通过涉及黎曼度量与平行移动的二次下界条件，在黎曼流形上定义近似次微分。
• 利用平方距离函数的下卷积，推导流形上的博尔韦因-普莱斯型变分原理。
• 建立下降原理，以推导非光滑函数的可解性与隐函数定理。
• 将该理论应用于分析黎曼流形上到闭子集的距离函数的可微性与几何性质。
• 利用近似微积分，通过映射及其扰动的导数有界性，推导不动点定理。
• 利用平行移动与曲率有界性（通过注入半径实现），控制测地线行为，并在不动点论证中确保局部单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将近似次微分微积分从希尔伯特空间有意义地推广到一般黎曼流形？
• RQ2 在何种条件下，黎曼流形上到闭子集的距离函数是可微或近似次可微的？
• RQ3 能否利用近似微积分将可解性与隐函数定理推广到黎曼流形上的非光滑函数？
• RQ4 在何种条件下，黎曼流形上三点的外心存在？
• RQ5 能否在不依赖压缩性的情况下，为非紧致、完备黎曼流形上的扩张或非扩张映射建立不动点定理？

主要发现

• 对于具有正注入半径的完备黎曼流形上的下半连续函数，博尔韦因-普莱斯型变分原理成立。
• 在适当的几何条件下，黎曼流形的闭子集 $ C $ 的距离函数是近似次可微的。
• 对于 $ C^1 $ 映射 $ G $，若对所有单位向量 $ h $，有 $ \big\bracevert \langle h, dG(x_0)(h) \rangle \big\bracevert \leq K < 1 $，则存在 $ \delta > 0 $，使得当 $ H $ 为 $ \delta $-Lipschitz 且 $ d(x_0, x_0 + H(x_0)) < \delta $ 时，$ G + H $ 在 $ x_0 $ 的邻域内有不动点。
• 对于 $ F = H \circ G $，若 $ G $ 是 $ C $-Lipschitz，且 $ \big\langle L_{xH(G(x))}h, L_{G(x)H(G(x))}dG(x)(h) \big\rangle \leq K < 1 $，且 $ H $ 在导数范数意义下足够接近恒等映射，则当 $ d(x_0, H(G(x_0))) < R(1 - K - \varepsilon) $ 且 $ \varepsilon < 1 - K $ 时，$ F $ 在 $ B(x_0, R) $ 内有不动点。
• 即使在 $ M = \mathbb{R}^n $ 或希尔伯特空间的情形下，这些不动点结果也是新的，将经典结果推广至非紧或非压缩情形。
• 在有限维流形上，不动点定理中的奇异集 $ \operatorname{sing}(z) $ 可被切点集 $ \operatorname{cut}(z) $ 替代。