[论文解读] Pruning Isomorphic Structural Sub-problems in Configuration

Stéphane Grandcolas, Laurent Hénocque+1 more|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Model-Driven Software Engineering Techniques参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种与形式化无关的方法，通过使用低成本、可分摊的算法测试T树表示的规范性，来消除配置中的同构结构子问题。该方法使配置器能够在不修改问题模型的前提下剪枝冗余搜索空间，实际中将非规范配置的数量降低几个数量级。

ABSTRACT

Configuring consists in simulating the realization of a complex product from a catalog of component parts, using known relations between types, and picking values for object attributes. This highly combinatorial problem in the field of constraint programming has been addressed with a variety of approaches since the foundation system R1(McDermott82). An inherent difficulty in solving configuration problems is the existence of many isomorphisms among interpretations. We describe a formalism independent approach to improve the detection of isomorphisms by configurators, which does not require to adapt the problem model. To achieve this, we exploit the properties of a characteristic subset of configuration problems, called the structural sub-problem, which canonical solutions can be produced or tested at a limited cost. In this paper we present an algorithm for testing the canonicity of configurations, that can be added as a symmetry breaking constraint to any configurator. The cost and efficiency of this canonicity test are given.

研究动机与目标

• 为解决配置问题中的结构同构问题，此类问题会导致约束编程中的冗余搜索空间。
• 开发一种检测并消除由相同子结构引起的同构问题的方法，而无需重新配置模型。
• 提供一种通用的对称性破缺机制，兼容任何现有配置器，且独立于底层形式化。
• 在简化T树模型中形式化定义并计算规范配置与非规范配置的数量。
• 证明规范表示可显著减少等价解的数量，从而提高配置器效率。

提出的方法

• 本文引入了结构子问题的概念，将其建模为T树，其中节点表示对象类型，边表示组合关系。
• 基于结构等价性，定义了T树上的偏序关系≤，从而为每个同构类确定一个规范代表。
• 通过递归算法形式化规范性测试，检查T树在≤关系下是否为字典序最小。
• 该测试利用子树的多重集组合，使用二项式系数高效计数并比较子树排列。
• 将该算法作为对称性破缺约束集成到任何配置器中，实现在搜索过程中剪枝同构子树。
• 该方法使用递归公式形式化：$ N_{p,k} = \frac{(N_{p-1,k})^{k+1} - 1}{N_{p-1,k} - 1} $ 表示总配置数，$ M_{p,k} = \binom{M_{p-1,k} + k}{k} $ 表示规范配置数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不修改模型的前提下检测并消除配置问题中由结构等价性引发的同构问题？
• RQ2 测试T树是否为规范表示的计算成本是多少？是否能够高效完成？
• RQ3 通过仅过滤规范配置，可实现多大程度的搜索空间缩减？
• RQ4 在T树模型中，非规范配置与规范配置数量之间的渐近比是多少？
• RQ5 能否设计一种通用的、与形式化无关的对称性破缺技术，用于配置工具？

主要发现

• 非规范k连通T树（深度为p）的数量 $ N_{p,k} $ 呈 $ \Theta(k^{k^{p-1}}) $ 增长，表明冗余解存在指数级爆炸。
• 规范k连通T树的数量 $ M_{p,k} $ 呈 $ \Theta(\frac{4^{k^{p-1}}}{k^{k^{p-2}}}) $ 增长，对于较大的p和k，远小于 $ N_{p,k} $。
• 当 $ p=3, k=4 $ 时，比值 $ N_{p,k}/M_{p,k} $ 超过 $ 3.6 \times 10^{11} / 1.13 \times 10^7 $，表明通过规范剪枝可实现巨大的冗余减少。
• 即使对于较小的值如 $ p=2, k=2 $，比值 $ N_{2,2}/M_{2,2} = 13/10 $，也显示出早期且显著的优势。
• 规范性测试计算高效且可分摊，适合作为对称性破缺约束集成到实际配置器中。
• 该方法泛化并优于先前的方法（如未使用组件的计数或可互换性），因为它在结构层面处理同构问题。