[论文解读] Prym covers, theta functions and Kobayashi curves in Hilbert modular surfaces

Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过雅可比θ函数导数的行列式构造了希尔伯特模曲面上的小林曲线——完全测地线的代数曲线，给出了其零点为这些曲线的显式模形式。关键成果是给出了四阶与三阶佩尔曼-泰希米勒曲线的欧拉示性数公式，表明 χ(W_D(6)) = −7χ(X_D) 且 χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))。

ABSTRACT

Algebraic curves in Hilbert modular surfaces that are totally geodesic for the Kobayashi metric have very interesting geometric and arithmetic properties, e.g. they are rigid. There are very few methods known to construct such algebraic geodesics that we call Kobayashi curves. We give an explicit way of constructing Kobayashi curves using determinants of derivatives of theta functions. This construction also allows to calculate the Euler characteristics of the Teichmueller curves constructed by McMullen using Prym covers.

研究动机与目标

• 构造显式的模形式，其零点为希尔伯特模曲面上的小林曲线。
• 计算阿贝尔微分模空间中佩尔曼-泰希米勒曲线 W_D(6) 与 W_D(4) 的欧拉示性数。
• 通过更高阶结构的θ函数推广此类曲线的构造方法。
• 将第二李雅普诺夫指数作为区分不同类型小林曲线的不变量进行研究。
• 探讨通过高阶θ函数行列式构造新小林曲线的可能性。

提出的方法

• 将模形式 G_D^X(z) 定义为关于 z_2 的四个θ函数及其一、二、三次导数构成的 4×4 矩阵的行列式。
• 证明 G_D^X(z) 是 SL(o_D ⊕ o_D^∨) 上权为 (2,14) 的模形式，其零点轨迹即为小林曲线 W_D^X。
• 利用希尔伯特模曲面上的交点理论，通过线丛 ω_1 与 ω_2 对曲线类 [W_D^X] 的配对计算欧拉示性数。
• 应用关系式 [W_D^X] = [ω_1] + 7[ω_2] 及交点数 [ω_1][ω_2] = χ(X_D)，推导出 χ(W_D^X) = −7χ(X_D)。
• 通过考虑 c_1 ∈ (1/N)Z^2 / Z^2 的 θ(c_1,0)(z,u)，将构造推广至更高阶θ函数，形成 N^2 阶行列式。
• 将 G_D^{[N]}(z) 定义为这些θ函数至 N^2−1 阶导数构成的 N^2 × N^2 矩阵的行列式，得到权为 (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1)) 的模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过θ函数及其导数显式构造希尔伯特模曲面上的小林曲线？
• RQ2 阿贝尔微分模空间中佩尔曼-泰希米勒曲线 W_D(6) 与 W_D(4) 的欧拉示性数是多少？
• RQ3 广义θ函数行列式 G_D^{[N]} 的零点是否不可约，且是否能产生新的小林曲线？
• RQ4 小林曲线在希尔伯特模曲面上可能的第二李雅普诺夫指数集合是什么？
• RQ5 不同泰希米勒曲线（如 W_D、W_D^X、W_D(6)）的李雅普诺夫指数如何比较，其几何意义为何？

主要发现

• 经典θ函数导数的行列式 G_D^X(z) 是权为 (2,14) 的模形式，其零点轨迹即为小林曲线 W_D^X。
• 在 M_4 中，佩尔曼-泰希米勒曲线 W_D(6) 的欧拉示性数为 χ(W_D(6)) = −7χ(X_D)。
• 当 D ≡ 4 mod 8 时，M_3 中的曲线 W_D(4) 的欧拉示性数为 χ(W_D(4)) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))。
• 当 D ≡ 1 mod 8 时，两个分支 W_D(4)^1 与 W_D(4)^2 均满足 χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))。
• 第二李雅普诺夫指数 λ_2(C) = ([ω_1]·[C])/([ω_2]·[C]) 是小林曲线的不变量，其取值分别为 1、1/3、1/7 与 1/2，对应不同曲线类型。
• 广义行列式 G_D^{[N]}(z) 是权为 (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1)) 的模形式，提示存在一族潜在的新小林曲线，其第二李雅普诺夫指数为 1/(2N^2−1)。