[论文解读] Prym varieties and fourfold covers

Sevín Recillas, Rubí E. Rodríguez|ArXiv.org|Mar 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文利用中间覆盖的Prym簇研究四次Galois覆盖曲线的雅可比簇，提供了同态核与极化类型的显式群论描述。通过群作用提供了双二次与三次数化构造的新证明，并导出与椭圆曲线及阿贝尔簇的积同源的雅可比簇族。

ABSTRACT

We describe the isotypical decomposition of the Jacobian variety JW of the Galois extension W-->T of any fourfold cover of smooth connected irreducible projective complex curves X-->T, in terms of Prym's of intermediate covers. We also compute the degree of the isogenies involved and as a result we obtain new proofs of the bigonal and trigonal constructions. Furthermore, we give examples of families of Jacobians isogenous to a product of Jacobians and of families of Prym varieties isogenous to the product of elliptic curves.

研究动机与目标

• 通过中间覆盖的广义Prym簇分析四次Galois覆盖曲线的雅可比簇结构。
• 确定雅可比簇的同调分解中出现的自然同态的核，特别是以2挠子群的形式表示。
• 通过限制到特定的分歧数据和 $T = \mathbb{P}^1$，利用群论方法重新证明双二次与三重构造。
• 通过受控分歧构造雅可比簇族，使其与雅可比簇的积同源，以及与椭圆曲线积同源的Prym簇族。
• 在二面体、交错与对称Galois群的四次覆盖背景下，刻画极化类型与对偶关系。

提出的方法

• 利用有限群作用下雅可比簇的同调分解，将有理单纯分量识别为中间覆盖的广义Prym簇。
• 将双二次与三重构造作为工具，关联雅可比簇与Prym簇，特别在以 $\mathbb{P}^1$ 为基的覆盖背景下。
• 通过显式描述2挠子群 $P_{\sigma}[2]$、$P_{\tau}[2]$ 与 $P_{\sigma\tau}[2]$ 的方式，计算同态 $\phi_{k}$ 的核。
• 利用与分歧点相关的线丛及从基曲线 $T$ 的拉回，构造 $P_{\sigma}[2]$、$P_{\tau}[2]$ 与 $P_{\sigma\tau}[2]$ 的生成元。
• 利用对偶与拉回映射（$a_{\sigma}^*$、$b_{\sigma}^*$）关联Prym簇的子群，并通过计算交集确定核的大小。
• 应用推论4.3与 $JT[2]$ 的结构，将Prym簇的2挠子群分解为挠子群与线丛类的直和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过中间覆盖的广义Prym簇将四次Galois覆盖的雅可比簇分解为同源分量？
• RQ2 在四次覆盖情形下，雅可比簇与其Prym分量之间的同态核的显式结构是什么？
• RQ3 能否通过群论与表示论方法，利用分歧数据重新推导出双二次与三重构造？
• RQ4 在何种分歧条件下，四次覆盖的Prym簇与椭圆曲线的积同源？
• RQ5 在二面体、交错与对称群情形下，Prym簇继承的极化类型是什么？

主要发现

• 在 $r > 1$ 且 $st > 0$ 的二面体情形下，$\phi_\tau$ 的核大小为 $2^{2g_T - 1 + t}$，且 $\phi_{\sigma\tau}$ 与 $\phi_\sigma$ 有类似公式。
• 当 $r = t = 1$ 时，$\phi_{\sigma\tau}$ 的核大小为 $2^{2g_T}$，表明Prym 2挠子群的拉回有更大的交集。
• $P_\sigma[2]$、$P_\tau[2]$ 与 $P_{\sigma\tau}[2]$ 的2挠子群被显式分解为包含 $b_\sigma^*(JT[2])$、$b_\tau^*(JT[2])$ 与额外线丛类的直和。
• $a_\sigma^*(P_\sigma[2]) \cap a_\tau^*(P_\tau[2])$ 被证明为 $\gamma^*(JT[2]) \oplus \bigoplus_{i=1}^{r-1} \mathcal{F}_i \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，从而确定了核的大小。
• 本文证明了经典三重与双重构造可通过限制到 $T = \mathbb{P}^1$ 与特定分歧型态，利用群论方法重新证明。
• 构造了具有 $\mathcal{S}_4$-作用的曲线族，其雅可比簇被证明与雅可比簇的积同源，并提供了显式的核计算。