[论文解读] Prym varieties and the canonical map of surfaces of general type

Ciro Ciliberto, Rita Pardini+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文引入了'良好生成对'的概念——一种涉及曲面间有限态射 $ h: V \to W $ 与 $ W $ 上的 nef 且大线丛 $ L $ 的几何构造——以系统地生成 canonical map 为 2 度映射到一个 canonically embedded 曲面的代数曲面的一族无限集合。关键贡献在于证明了 $ V $ 的阿贝尔簇是 P既有变体，且当 P既有映射的纤维维数为正时，该结构使得能够构造出此类曲面的新无限系列，推广了 Beauville 的例子。

ABSTRACT

Let X be a smooth complex surface of general type such that the image of the canonical map $ϕ$ of X is a surface $Σ$ and that $ϕ$ has degree $δ\geq 2$. Let $ε\colon S o Σ$ be a desingularization of $Σ$ and assume that the geometric genus of S is not zero. Beauville has proved that in this case S is of general type and $ε$ is the canonical map of S. Beauville has also constructed the only infinite series of examples $ϕ:X o Σ$ with the above properties that was known up to now. Starting from his construction, we define a {\em good generating pair}, namely a pair $(h:V o W, L)$ where h is a finite morphism of surfaces and L is a nef and big line bundle of W satisfying certain assumptions. We show that by applying a construction analogous to Beauville's to a good generating pair one obtains an infinite series of surfaces of general type whose canonical map is 2-to-1 onto a canonically embedded surface. In this way we are able to construct more infinite series of such surfaces. In addition, we show that good generating pairs have bounded invariants and that there exist essentially only 2 examples with $\dim |L|>1$. The key fact that we exploit for obtaining these results is that the Albanese variety P of V is a Prym variety and that the fibre of the Prym map over P has positive dimension.

研究动机与目标

• 推广 Beauville 对具有 2-1 canonical map 的代数曲面的构造。
• 识别并形式化此类 canonical cover 出现的几何与上同调条件。
• 证明覆盖曲面 $ V $ 的阿贝尔簇是 P既有变体，将构造与模理论联系起来。
• 对满足 $ \dim|L| > 1 $ 的生成对进行分类，表明本质上仅有两种此类对。
• 提供一种系统化方法，以构造新的具有 2 度的 canonical cover 的无限系列。

提出的方法

• 定义'良好生成对' $ (h: V \to W, L) $，要求 $ h $ 为 2 度有限态射，$ W $ 具有 $ A_1 $ 奇点，$ L $ 为 nef 且大，且 $ |L| $ 中的曲线光滑且非超椭圆，同时满足 $ |K_V + h^*L| = h^*|K_W + L| $。
• 通过 $ \tilde{h} = h \times \mathrm{id} $ 拉回一般曲面 $ \Sigma \in |p_1^*L \otimes p_2^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(n)| $ 构造新曲面 $ X $，确保 $ X \to \Sigma $ 是一个 canonical cover。
• 在 $ V \times \mathbb{P}^1 $ 与 $ W \times \mathbb{P}^1 $ 上使用邻接公式，验证诱导映射 $ \psi: X \to S $ 是一个 2 度的良好 canonical cover。
• 证明 $ V $ 的阿贝尔簇同构于一般曲线 $ C \in |L| $ 的无分支双覆盖 $ C' \to C $ 的 P既有变体。
• 利用 P既有映射在 $ V $ 的阿贝尔簇上的纤维的正性，限制此类对的存在性。
• 应用 Riemann-Hurwitz 公式与单值性分析，排除某些伽罗瓦作用，证明在某些情况下覆盖 $ h: V \to W $ 必为 3 度循环覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限态射 $ h: V \to W $ 与 $ W $ 上的线丛 $ L $ 满足何种条件，可确保拉回得到的曲面 $ X $ 为一般型，且其 canonical map 为 2-1 映射到曲面 $ \Sigma $？
• RQ2 Beauville 的 canonical cover 构造如何推广，以生成此类曲面的无限族？
• RQ3 P既有变体在表征覆盖曲面 $ V $ 的阿贝尔簇方面起何种作用？
• RQ4 在同构意义下，满足 $ \dim|L| > 1 $ 的生成对 $ (h: V \to W, L) $ 有哪些？
• RQ5 此类覆盖的存在性是否可能被拓扑或上同调约束（如欧拉示性数不匹配）所阻碍？

主要发现

• $ V $ 的阿贝尔簇同构于一般曲线 $ C \in |L| $ 的无分支双覆盖 $ C' \to C $ 的 P既有变体。
• P既有映射在 $ V $ 的阿贝尔簇上的纤维维数为正，这对此类覆盖的无限族的存在性至关重要。
• 本质上仅有两种满足 $ \dim|L| > 1 $ 的良好生成对，且这些对已被完全分类。
• 该构造产生了新的具有 2-1 canonical map 的一般型曲面的无限系列，推广了 Beauville 的例子。
• Kodaira 维数 $ \kappa = 1 $ 的情形受到极大限制，而 $ \kappa = 0 $ 的情形恰好对应于 Beauville 的构造。
• 拓扑障碍——特别是欧拉示性数不匹配——排除了在 $ q(V) = 4 $ 或 $ q(V) = 2 $ 的可化直纹面情形下此类覆盖的存在性，从而证明了在这些情形下 $ \kappa(V) = 2 $。