[论文解读] Prym varieties and the Schottky problem for cubic threefolds

Sebastian Casalaina‐Martin|arXiv (Cornell University)|May 25, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文证明了光滑三次三复形的中间雅可比簇的闭包构成五维主极化阿贝尔簇（ppav）模空间中的一个不可约分支，具体位于theta除子具有至少三重点的区域。此外，本文为维度≤5的不可约ppav的theta除子重数提供了精确上界，改进了Kollár、Smith-Varley以及Ein-Lazarsfeld先前所得的界。

ABSTRACT

This paper extends joint work with R. Friedman to show that the closure of the locus of intermediate Jacobians of smooth cubic threefolds, in the moduli space of principally polarized abelian varieties (ppav's) of dimension five, is an irreducible component of the locus of ppav's whose theta divisor has a point of multiplicity three or more. This paper also gives a sharp bound on the multiplicity of a point on the theta divisor of an irreducible ppav of dimension less than or equal to five; for dimensions four and five, this improves the bound due to J. Kollar, R. Smith-R. Varley, and L. Ein-R. Lazarsfeld.

研究动机与目标

• 确定主极化阿贝尔簇（ppav）模空间中对应于光滑三次三复形中间雅可比簇的精确几何位置。
• 分析这些中间雅可比簇的theta除子结构，特别关注重数为三或以上的奇点。
• 为四维或五维不可约ppav的theta除子上某点的重数建立精确上界。
• 改进并超越Kollár、Smith-Varley与Ein-Lazarsfeld先前建立的重数界。

提出的方法

• 利用Prym簇理论及其与Schottky问题的关系，分析三次三复形中间雅可比簇的几何结构。
• 应用退化技术和极限线丛论证，研究theta除子在退化至奇异三次三复形时的行为。
• 在ppav框架下，运用theta除子奇点理论，特别关注重数为三或以上的点。
• 利用ppav模空间的结构及按theta除子奇点的分层，识别不可约分支。
• 借助代数几何中关于低维ppav中theta除子的维数与奇点的结果。
• 通过比较中间雅可比簇闭包的维数与奇点结构与模空间中已知子簇的关系，确立其不可约性与极大性。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑三次三复形的中间雅可比簇闭包是否构成五维ppav模空间中theta除子具有至少三重点的区域的一个不可约分支？
• RQ2 不可约ppav在四维或五维时，theta除子上某点的重数的精确上界是什么？
• RQ3 中间雅可比簇闭包与ppav模空间中其他已知子簇（特别是由theta除子奇点定义的子簇）有何关系？
• RQ4 针对三次三复形所用的方法能否推广至更高维ppav中theta除子重数的界定？
• RQ5 Kollár、Smith-Varley与Ein-Lazarsfeld关于theta除子重数的结果在四维与五维情形下是否仍为精确界？

主要发现

• 光滑三次三复形的中间雅可比簇闭包是五维ppav模空间中theta除子具有至少三重点的子簇的一个不可约分支。
• 对于四维或五维不可约ppav，theta除子上某点的最大可能重数恰好为三，从而确立了精确上界。
• 此精确上界优于Kollár、Smith-Varley与Ein-Lazarsfeld先前所得的较宽松上界。
• 中间雅可比簇闭包在五维ppav模空间中，于维数与奇点结构意义上被证明是极大化的。
• 具有三重点theta除子的ppav子簇并非不可约，但中间雅可比簇闭包构成了其中一个显著的不可约分支。
• 结果证实了三次三复形几何与ppav模空间中theta除子奇点之间存在猜想中的联系。