[论文解读] Pseudo-deterministic Proofs

Shafi Goldwasser, Ofer Grossman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了伪确定性交互式证明（psdAM），其中概率多项式时间验证者与证明者交互以解决搜索问题，并保证在多次执行中以高概率输出相同的规范解，即使面对敌意证明者也是如此。主要贡献在于证明了 psdAM 捕获了通过访问承诺-AM ∩ coAM 的多项式时间搜索算法可解的问题，并证明了若存在常数轮 psdAM 协议用于 NP-完全问题，则多项式层次将坍缩。

ABSTRACT

We introduce pseudo-deterministic interactive proofs (psdAM): interactive proof systems for search problems where the verifier is guaranteed with high probability to output the same output on different executions. As in the case with classical interactive proofs, the verifier is a probabilistic polynomial time algorithm interacting with an untrusted powerful prover. We view pseudo-deterministic interactive proofs as an extension of the study of pseudo-deterministic randomized polynomial time algorithms: the goal of the latter is to find canonical solutions to search problems whereas the goal of the former is to prove that a solution to a search problem is canonical to a probabilistic polynomial time verifier. Alternatively, one may think of the powerful prover as aiding the probabilistic polynomial time verifier to find canonical solutions to search problems, with high probability over the randomness of the verifier. The challenge is that pseudo-determinism should hold not only with respect to the randomness, but also with respect to the prover: a malicious prover should not be able to cause the verifier to output a solution other than the unique canonical one.

研究动机与目标

• 形式化伪确定性交互式证明（psdAM），使得验证者在多次执行中即使存在随机性和不可信证明者，也能始终输出相同的规范解。
• 研究是否存在针对 NP-完全问题的 psdAM 协议，鉴于其对多项式层次可能产生的影响。
• 探讨 psdAM 与其他复杂性类（尤其是 search-BPP 和 search-NL）之间的关系，并确定 oracle 在伪确定性计算中的作用。
• 将伪确定性的概念从随机算法扩展到交互式证明系统，使证明系统中能够实现唯一输出的验证。
• 考察为数论、基于格的密码学和博弈论中的基本问题构造伪确定性协议的可行性。

提出的方法

• 将 psdAM 定义为一种交互式证明系统，其中验证者通过与证明者的交互，在其自身随机性下以高概率输出唯一规范解。
• 使用图同构问题的常数轮交互式证明，其中验证者在每次执行中均输出相同的同构映射，尽管可能存在多个同构映射。
• 证明：若任意 NP-完全问题存在常数轮 psdAM 协议，则多项式层次将坍缩，方法是将其归约为唯一见证存在的存在性。
• 证明：每个 search-BPP 中的问题均存在一个伪确定性 MA 协议，该协议在无穷多个输入长度上成功，且验证者运行时间在亚指数时间内。
• 建立所有 search-NL 中的搜索问题均属于伪确定性 NL，即每个非确定性对数空间计算均可被转化为伪确定性形式。
• 将 psdAM 表征为等价于具有 oracle 访问能力的多项式时间搜索算法，其 oracle 为承诺-AM ∩ coAM，且查询必须满足承诺条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 NP-完全问题构造伪确定性交互式证明？其复杂性理论后果是什么？
• RQ2 psdAM 与对承诺-AM ∩ coAM 的 oracle 访问之间是否存在联系？该表征能否用于分离或坍缩复杂性类？
• RQ3 所有 search-BPP 中的问题是否都具有伪确定性 MA 协议？其在输入长度和时间复杂度上的限制是什么？
• RQ4 能否为数论中的基本问题（如寻找原根或素数）构造伪确定性交互式证明？
• RQ5 psdAM 协议中证明者所需的最小计算能力是多少？其在私有随机和公开随机变体之间有何不同？

主要发现

• 图同构问题存在一个常数轮 psdAM 协议，验证者在多次执行中以高概率输出相同的同构映射。
• 若任意 NP-完全问题存在常数轮 psdAM 协议，则多项式层次将坍缩，表明此类协议存在强烈限制。
• 每个 search-BPP 中的问题均存在一个伪确定性 MA 协议，该协议在无穷多个输入长度上成功，且验证者运行在亚指数时间内。
• 所有 search-NL 中的搜索问题均属于伪确定性 NL，即每个非确定性对数空间算法均可被构造为产生唯一规范输出。
• psdAM 协议类等价于通过访问承诺-AM ∩ coAM 的多项式时间搜索算法可解的问题类，且查询必须满足承诺条件。
• 伪确定性协议可扩展至零知识环境，其中验证者仅学习到规范解及其唯一性，而不会获得额外信息。