[论文解读] Pseudo-entropy for descendant operators in two-dimensional conformal field theories

Song He, Jie Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2023

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文研究了二维有理共形场论（RCFTs）中由次级算符制备的局域激发态的伪Rényi熵在晚近时间的行为。当两个次级算符由同一Virasoro生成元作用于主算符时，伪Rényi熵的晚近过剩等于主算符量子维数的对数——与纠缠熵一致。然而，当生成元为线性组合时，由于全纯与反全纯部分的混合，出现额外贡献，可表示为一个有效有限维转移矩阵的伪Rényi熵。

ABSTRACT

We study the late-time behaviors of pseudo-(Rényi) entropy of locally excited states in rational conformal field theories (RCFTs). To construct the transition matrix, we utilize two non-orthogonal locally excited states that are created by the application of different descendant operators to the vacuum. We show that when two descendant operators are generated by a single Virasoro generator acting on the same primary operator, the late-time excess of pseudo-entropy and pseudo-Rényi entropy corresponds to the logarithmic of the quantum dimension of the associated primary operator, in agreement with the case of entanglement entropy. However, for linear combination operators generated by the generic summation of Virasoro generators, we obtain a distinct late-time excess formula for the pseudo-(Rényi) entropy compared to that for (Rényi) entanglement entropy. As the mixing of holomorphic and antiholomorphic generators enhances the entanglement, in this case, the pseudo-(Rényi) entropy can receive an additional contribution. The additional contribution can be expressed as the pseudo-(Rényi) entropy of an effective transition matrix in a finite-dimensional Hilbert space.

研究动机与目标

• 理解有理共形场论（RCFTs）中局域激发态的晚近伪Rényi熵行为。
• 分析由Virasoro生成元生成的次级算符结构如何影响转移矩阵及其导致的伪熵。
• 将伪Rényi熵的晚近过剩与纠缠熵进行比较，尤其关注全纯与反全纯生成元贡献混合的情况。
• 识别并表征由次级态非正交叠加引起的伪Rényi熵的额外贡献。

提出的方法

• 从两个由次级算符制备的非正交局域激发态构造转移矩阵 $ \mathcal{T}^{\psi|\varphi} = \frac{|\psi\rangle\langle\varphi|}{\langle\varphi|\psi\rangle} $。
• 在子系统 $ A $ 上计算约化转移矩阵 $ \mathcal{T}_A^{\psi|\varphi} = \text{tr}_B[\mathcal{T}^{\psi|\varphi}] $，该矩阵非厄米，需谨慎处理对数运算。
• 使用伪Rényi熵 $ S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\text{tr}[(\mathcal{T}_A^{\psi|\varphi})^n] $（$ n \geq 2 $）以避免无限维希尔伯特空间中的分支切割问题。
• 利用共形场论技术分析包含次级算符的关联函数在晚近时间极限下的渐近行为。
• 推导涉及 $ \mathcal{O}^{(-n)} $ 和 $ \mathcal{O}^{(-m)\dagger} $ 的四点函数的主导行为，将其映射至转移矩阵谱。
• 将混合生成元情况下额外晚近贡献表达为一个有效有限维转移矩阵的伪Rényi熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维RCFT中，由次级算符制备的局域激发态的晚近伪Rényi熵行为如何？
• RQ2 当两个次级算符均由同一Virasoro生成元作用于主算符时，伪Rényi熵的晚近过剩是否等于主算符量子维数的对数？
• RQ3 当两个激发态由Virasoro生成元的线性组合生成时，晚近伪Rényi熵的行为如何？
• RQ4 在混合生成元情况下，伪Rényi熵的额外贡献是否可系统地捕捉并表示为一个有效转移矩阵？
• RQ5 全纯与反全纯生成元的混合如何影响晚近区域的纠缠结构？

主要发现

• 当两个次级算符由同一Virasoro生成元作用于主算符时，伪Rényi熵的晚近过剩为 $ \log d_p $，其中 $ d_p $ 为主算符的量子维数，与纠缠熵情况一致。
• 对于Virasoro生成元的线性组合，伪Rényi熵的晚近过剩偏离了纠缠熵公式，表明在非正交态设置下表现出独特行为。
• 在混合生成元情况下，伪Rényi熵的额外贡献源于全纯-反全纯混合引起的增强纠缠。
• 该额外贡献可定量表达为一个有限维希尔伯特空间中有效转移矩阵的伪Rényi熵。
• 推导出四点函数 $ \langle \mathcal{O}^{(-n)}(1)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(2)\mathcal{O}^{(-n)}(3)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(4) \rangle_{\Sigma_2} $ 在晚近时间的主导渐近行为，明确显示出对 $ \Delta $、$ c $ 和算符权重的依赖。
• 完整的晚近过剩公式包含与 $ \Delta $、$ \Gamma(m+n) $ 和 $ (-1)^n $ 成比例的项，高阶修正项涉及 $ \Gamma(m-1) $、$ \Gamma(n-1) $ 和 $ \Gamma(m+n) $，反映了转移矩阵谱的非平凡结构。