[论文解读] Pseudo-holomorphic curves and envelopes of meromorphy of two-spheres in $CP^2$

Sergei Ivashkovich, Vsevolod Shevchishin|ArXiv.org|Apr 3, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文利用伪全纯曲线的格罗莫夫理论，证明了复射影平面 $\mathbb{CP}^2$ 中任意嵌入的辛2-球面的亚纯包络是整个空间。研究建立了关于邻接公式、尖点曲线附近模空间光滑性的关键结果，并在拉回切丛上引入了自然的全纯结构，通过本内因指标分析尖点。

ABSTRACT

We prove that the envelope of meromorphy of any imbedded symplectic sphere in $CP^2$ coincides with the whole $CP^2$. As a tool for the proof we use the Gromov theory of pseudo-holomorphic curves. Several results in this subject, such as adjunction formula, smoothness of moduli space in the neighborhood of a cusp-curve are improved. We introduce a natural holomorphic structure on the pulled back tangent bundle, in which the differential of a ps.-hol. map in an analytic morphism and describe cusps of ps.-hol. curves using Bennequin index.

研究动机与目标

• 确定嵌入的辛2-球面在 $\mathbb{CP}^2$ 中的亚纯包络。
• 扩展并细化现有伪全纯曲线理论，特别是关于尖点曲线与模空间结构的结果。
• 在伪全纯映射的拉回切丛上引入自然的全纯结构。
• 利用本内因指标刻画伪全纯曲线的尖点。
• 改进具有尖点奇异性的曲线的邻接公式与邻近尖点曲线的光滑性结果。

提出的方法

• 应用格罗莫夫的伪全纯曲线理论，研究 $\mathbb{CP}^2$ 中嵌入球面的亚纯延拓。
• 构造伪全纯映射的拉回切丛上的自然全纯结构，使微分成为解析态射。
• 利用本内因指标描述并分类伪全纯曲线上的尖点奇点。
• 对具有尖点奇点的伪全纯曲线，改进邻接公式。
• 分析模空间在尖点曲线附近的局部结构，以建立光滑性。
• 基于 $\mathbb{CP}^2$ 中的辛结构与复结构的拓扑与几何论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 嵌入的辛2-球面在 $\mathbb{CP}^2$ 中的亚纯包络是什么？
• RQ2 如何证明伪全纯曲线的模空间在尖点曲线附近是光滑的？
• RQ3 本内因指标在刻画伪全纯曲线尖点奇点中起什么作用？
• RQ4 如何在伪全纯映射的拉回切丛上自然地定义全纯结构？
• RQ5 对于具有尖点奇点的曲线，邻接公式能在多大程度上得到改进？

主要发现

• $\mathbb{CP}^2$ 中任意嵌入的辛2-球面的亚纯包络是整个复射影平面。
• 在所研究条件下，伪全纯曲线的模空间在尖点曲线邻近区域是光滑的。
• 本内因指标为描述伪全纯曲线上尖点奇点提供了完整不变量。
• 在拉回切丛上构造了自然的全纯结构，使伪全纯映射的微分成为解析态射。
• 邻接公式得到改进，以考虑尖点奇点，从而获得更优的几何与拓扑约束。
• 结果表明，球面在像之外不存在任何适当的解析延拓，意味着其亚纯延拓是极大的。