[论文解读] Pseudo Kobayashi hyperbolicity of base spaces of families of minimal projective manifolds with maximal variation

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 10

一句话总结

该论文证明了具有最大变差的光滑极小射影流形族的基空间 $ V $ 是伪 Kobayashi 双曲的，即所有非恒定的全纯曲线均位于一个真子簇中。通过 Viehweg-Zuo Higgs 线丛和一个新形式的 Torelli 型定理，作者证明了 Kobayashi-Royden 的无穷小伪度量在除去一个真子簇外的区域为正定，从而确认了模空间的 Brody 双曲性，并解决了 Viehweg-Zuo（2003）提出的问题。

ABSTRACT

In this paper we prove that every quasi-projective base space $V$ of smooth family of minimal projective manifolds with maximal variation is pseudo Kobayashi hyperbolic, i.e. $V$ is Kobayashi hyperbolic modulo a proper subvariety $Z\subsetneq V$. In particular, $V$ is algebraically degenerate, that is, every nonconstant entire curve $f:\mathbb{C} o V$ has image $f(\mathbb{C})$ which lies in that proper subvariety $Z\subsetneq V$. As a direct consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of minimal projective manifolds, which answers a question by Viehweg-Zuo in 2003.

研究动机与目标

• 建立具有最大变差的光滑极小射影流形族的准射影基空间的伪 Kobayashi 双曲性。
• 解决 Viehweg-Zuo（2003）关于极小射影流形模空间的 Brody 双曲性提出的问题。
• 证明 Viehweg-Zuo Higgs 线丛的通用 Torelli 型定理，且该定理与纤维的 Kodaira 维数无关。
• 通过 Hodge 模理论将双曲性结果推广至纤维具有良好极小模型的族的基空间。
• 证明 Viehweg-Zuo Higgs 线丛中通用 Torelli 性质的存在性意味着基空间中全纯曲线的代数退化性。

提出的方法

• 通过 Hodge 模理论在基空间的双有理模型上构造一个 Viehweg-Zuo Higgs 线丛。
• 在 Higgs 线丛上引入一个奇异 Hermitian 度量 $ h $，使其在一个 Zariski 开集上具有严格正曲率。
• 利用 Higgs 场 $ \tau_k $ 的对称幂定义基空间切丛上的 Finsler 度量 $ \mathscr{F} $。
• 证明当系数 $ \alpha_k $ 适当地选择时，$ \mathscr{F} $ 的全纯截面曲率有上界为负常数。
• 应用 Demailly 的 Ahlfors-Schwarz 引理，推导出 Kobayashi-Royden 度量在非空 Zariski 开集上为正定。
• 利用 Kobayashi 双曲性的双全纯不变性，将结果提升至原始基空间 $ V $。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有最大变差的光滑极小射影流形族的基空间是否为伪 Kobayashi 双曲的？
• RQ2 Viehweg-Zuo Higgs 线丛的通用 Torelli 性质是否对所有情况均成立，无论纤维的 Kodaira 维数为何？
• RQ3 是否可以在不假设最大 Kodaira 维数的条件下建立极小射影流形模空间的 Brody 双曲性？
• RQ4 在一般条件下，基空间上由 Finsler 度量构造是否能保证负全纯截面曲率？
• RQ5 Higgs 场 $ \tau_1 $ 的第一对称幂的单射性是否为基空间上的通用性质？

主要发现

• 具有最大变差的光滑极小射影流形族的基空间 $ V $ 是伪 Kobayashi 双曲的，即 Kobayashi-Royden 度量在除去一个真子簇 $ Z \subsetneq V $ 外的区域为正定。
• 通过 Higgs 场上的曲率与单射性论证，独立于纤维的 Kodaira 维数，证明了 Viehweg-Zuo Higgs 线丛存在通用 Torelli 性质。
• 由 Higgs 场的对称幂与奇异 Hermitian 度量构造的 Finsler 度量 $ \mathscr{F} $，在系数 $ \alpha_k $ 适当地选择时，其全纯截面曲率有上界为负常数。
• Kobayashi-Royden 无穷小度量 $ \kappa_V $ 在 $ V $ 的非空 Zariski 开集上为正定，从而蕴含伪 Kobayashi 双曲性。
• 作为推论，每个非恒定全纯曲线 $ f: \mathbb{C} \to V $ 的像均包含于一个真子簇 $ Z \subsetneq V $ 中，从而确认了代数退化性。
• 极小射影流形模空间的 Brody 双曲性得以确立，解决了 Viehweg-Zuo（2003）提出的问题。