[论文解读] Pseudo parallel contact CR-Submanifolds of Kenmotsu manifolds

Shyamal Kumar Hui, Pradip Mandal|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文利用Levi-Civita联络与半对称度量联络，研究了Kenmotsu流形中的伪平行接触CR-子流形。在特定条件下，证明了Chaki与Deszcz意义下的伪平行性等价，并且证明了此类子流形当且仅当在半对称度量联络下为伪平行时，是全测地的，前提是联络形式或曲率函数满足特定约束。

ABSTRACT

The present paper deals with the study of pseudo parallel (in the sense of Chaki and in the sense of Deszcz) contact CR-submanifolds with respect to Levi-Civita connection as well as semisymmetric metric connection of Kenmotsu manifolds and prove that these corresponding two classes are equivalent with a certain condition.

研究动机与目标

• 利用Levi-Civita联络与半对称度量联络研究Kenmotsu流形中的伪平行接触CR-子流形。
• 研究Kenmotsu流形中接触CR-子流形的Chaki与Deszcz意义下伪平行性的等价性。
• 确定在何种条件下，相对于半对称度量联络的伪平行子流形为全测地的。
• 在Kenmotsu几何背景下，建立不同类型伪平行性与全测地性之间的关系。

提出的方法

• 在Kenmotsu流形上利用Levi-Civita联络与半对称度量联络，定义Chaki与Deszcz意义下的伪平行性。
• 应用Gauss公式与Weingarten公式，关联子流形及其法丛上的诱导联络。
• 推导涉及黎曼曲率张量、第二基本形式与联络形式的曲率恒等式。
• 对1-形式α与曲率函数L₁施加条件，以分析其对第二基本形式h的影响。
• 利用恒等式(L₁ - 2)h(Y,Z) = 0，推导出当L₁ ≠ 2时h恒为零，从而推出全测地性。
• 在Chaki伪平行性情形下，利用条件α(ξ) ≠ -2，以消除联络形式的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Kenmotsu流形中的伪平行接触CR-子流形在Chaki与Deszcz定义下等价？
• RQ2 半对称度量联络如何影响Kenmotsu流形中接触CR-子流形的伪平行性与测地性？
• RQ3 在半对称度量联络背景下，伪平行性（Chaki与Deszcz）与全测地性之间存在何种关系？
• RQ4 在特定曲率或联络约束下，第二基本形式h是否可能消失，从而暗示全测地性？
• RQ5 结构向量场ξ在决定伪平行性类型等价性方面起何种作用？

主要发现

• 若满足关于1-形式α的某一条件，则Kenmotsu流形中的伪平行接触CR-子流形在Chaki与Deszcz定义下等价。
• 对于半对称度量联络下的子流形，当α(ξ) ≠ -2时，Chaki与Deszcz意义下的伪平行性等价。
• 若α(ξ) ≠ -2，则接触CR-子流形是全测地的，当且仅当其在半对称度量联络下为Chaki意义下的伪平行。
• 若L₁ ≠ 2，则接触CR-子流形是全测地的，当且仅当其在半对称度量联络下为Deszcz意义下的伪平行。
• 在相同条件下，相对于半对称度量联络的半平行子流形（L₁ = 0）与全测地性等价。
• 在半对称度量联络下，全测地性、平行性、半平行性、Chaki伪平行性（α(ξ) ≠ -2）与Deszcz伪平行性（L₁ ≠ 2）这五种条件全部等价。