[论文解读] Pseudo-quotients of algebraic actions and their application to character varieties

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文引入了伪商——一种受拓扑启发的代数群作用商，通过聚焦于拓扑结构而非代数结构，推广了几何不变量理论（GIT）商。该框架被用于计算特征为零的域上，具有Jordan型旁征结构的自由群与曲面群的SL₂(k)表示簇的虚拟类，证明了在格罗滕迪克环中虚拟类唯一性。主要结果是给出了这些表示簇虚拟类的显式公式，涉及亏格、极点数及共轭类型等参数。

ABSTRACT

In this paper, we propose a weak version of quotient for the algebraic action of a group on a variety, which we shall call a pseudo-quotient. They arise when we focus on the purely topological properties of good GIT quotients regardless of their algebraic properties. The flexibility granted by their topological nature enables an easier identification in geometric constructions than classical GIT quotients. We obtain several results about the interplay between pseudo-quotients and good quotients. Additionally, we show that in characteristic zero pseudo-quotients are unique up to virtual class in the Grothendieck ring of algebraic varieties. As an application, we compute the virtual class of $\mathrm{SL}_{2}(k)$-character varieties for free groups and surface groups as well as their parabolic counterparts with punctures of Jordan type.

研究动机与目标

• 开发一种灵活的拓扑替代方案，用于代数群作用的古典GIT商。
• 研究伪商与良好GIT商在代数几何中的相互作用。
• 计算具有旁征结构的自由群与曲面群的SL₂(k)-表示簇的虚拟类。
• 在特征为零的域上，建立伪商在格罗滕迪克环中关于虚拟类的唯一性。
• 通过提供超越算术与几何方法的显式虚拟类公式，拓展量子方法的适用范围。

提出的方法

• 提出伪商作为保持良好GIT商同伦型但放松代数约束的拓扑商。
• 通过将表示簇划分为不可约与可约子簇，使用分层技术计算虚拟类。
• 通过广义张量范畴的TQFT方法应用量子方法，在代数簇的格罗滕迪克环中计算虚拟类。
• 在格罗滕迪克环中利用剪切-粘贴关系，将复杂分层分解为更简单的成分，如(k*)^s−1与超平面补集。
• 分析稳定子群（如PGL₂）在分层上的作用，通过纤维化与轨道型分解计算商的虚拟类。
• 通过结合不同分层Xυ、X̺与Xir的贡献，利用πs与Πs的递推关系，推导出表示簇虚拟类的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为代数群作用定义一种更弱但拓扑鲁棒的商，以保持GIT商的关键不变量？
• RQ2 伪商与经典良好GIT商在虚拟类方面有何关系？
• RQ3 能否在格罗滕迪克环中计算具有旁征结构的曲面群SL₂(k)-表示簇的虚拟类？
• RQ4 在何种条件下，伪商在特征为零时关于虚拟类是唯一的？
• RQ5 Jordan型旁征结构如何影响表示簇的虚拟类？

主要发现

• 对于具有s个极点的自由群，SL₂(k)-表示簇的虚拟类为[Xn,s ⋊ SL₂] = 2n(q−1)s qn−1 + (q³−q)ⁿ⁻¹(q²−1)ˢ。
• 对于亏格g ≥1且具有s ≥1个极点的曲面群，虚拟类为[Xg,s ⋊ SL₂] = (q²−1)²ᵍ⁺ˢ⁻² q²ᵍ⁻² + (−1)ˢ 2²ᵍ (q−1) q²ᵍ⁻² (1−(1−q)ˢ⁻¹) + ½(q−1)²ᵍ⁺ˢ⁻² q²ᵍ⁻² (2²ᵍ + q−3) + ½(q+1)²ᵍ⁺ˢ⁻² q²ᵍ⁻² (2²ᵍ + q−1)。
• 对于具有r+个Jordan块、r−个负Jordan块及t = −Id块的Jordan型旁征结构，虚拟类依赖于σ = (−1)ʳ⁻⁺ᵗ：若σ = 1，则退化为无扭情况；若σ = −1，则该簇无可约表示。
• 在扭情况（σ = −1）下，虚拟类为[XSL₂(Γg,r+1,Q⁻ᵣ)] = (−1)ʳ⁻¹ 2²ᵍ⁻¹ (q+1)²ᵍ⁺ʳ⁻² q²ᵍ⁻² + (q−1)²ᵍ⁺ʳ⁻² q²ᵍ⁻² ((q+1)²ᵍ⁺ʳ⁻² + 2²ᵍ⁻¹ −1)。
• 本文证明，在特征为零时，伪商在格罗滕迪克环中关于虚拟类是唯一的，为虚拟类计算提供了拓扑基础。
• 该方法成功计算了具有任意Jordan型旁征结构的SL₂-表示簇的虚拟类，包括算术与几何方法无法触及的情形。