[论文解读] Pseudo-Riemannian metrics with parallel spinor fields and vanishing Ricci tensor

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Apr 11, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 51

一句话总结

本文分类了在各种维度下具有平行旋量场和零里奇曲率的伪黎曼度量，特别关注 (10,1) 维洛伦兹流形。研究表明，具有平行零旋量场的此类度量在局部上依赖于一个任意的 10 个变量函数，尽管它们通常不是里奇平坦的，但若施加里奇平坦性条件，则一般性降低为六个 6 个变量的函数——与非零旋量情形一致。该构造依赖于一个满足共形反自对偶条件的 1 个参数族无 torsion 的 Spin(7)-结构。

ABSTRACT

I discuss geometry and normal forms for pseudo-Riemannian metrics with parallel spinor fields in some interesting dimensions. I also discuss the interaction of these conditions for parallel spinor fields with the condition that the Ricci tensor vanish (which, for pseudo-Riemannian manifolds, is not an automatic consequence of the existence of a nontrivial parallel spinor field).

研究动机与目标

• 确定具有平行旋量场的伪黎曼度量的局部一般性，特别是维度大于 6 的情况。
• 研究在不定度量几何中，平行旋量场的存在性与里奇平坦条件之间的相互作用。
• 将特殊全纯度量的分类从黎曼情形扩展至洛伦兹和分裂符号度量情形。
• 为具有各种代数类型的平行旋量场（包括零旋量和纯旋量）的度量提供标准形式和结构方程。
• 澄清在伪黎曼情形下，特别是零旋量情形下，平行旋量场的存在是否意味着里奇张量为零。

提出的方法

• 使用运动标架法和结构方程，推导出 3 至 10 维中具有平行旋量场的度量的标准形式。
• 应用旋量轨道和克利福德代数理论，对低维中旋量场可能的代数类型进行分类。
• 通过在 8 维流形 K 上构造一个满足其标准 4-形式 Φ 的变分的共形反自对偶条件的 1 个参数族无 torsion 的 Spin(7)-结构，来构造解。
• 利用对称矩阵 u 和函数 g，在 R³×K 上构造洛伦兹度量，其形式为 ds² = -4dx₁dx₃ + dx₂² - 4g dx₃² + η·η，其中 η 编码了旋量数据。
• 施加条件 dη = -(θ - 2u dx₃) ∧ η 以确保平行零旋量场的存在。
• 使用 Ambrose-Singer 深度定理表明，对一般选择，全息群维数为 30，意味着最大对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (10,1) 维伪黎曼度量中，平行零旋量场的存在是否意味着里奇张量为零？
• RQ2 具有平行零旋量场和零里奇曲率的 (10,1) 度量的局部一般性（以任意函数计）是多少？
• RQ3 在不定度量中，具有平行零旋量场的度量与具有非零旋量的度量在全息群结构上有什么不同？
• RQ4 能否利用 8 维流形上的 1 个参数族 Spin(7)-结构来构造具有平行零旋量场的洛伦兹度量？
• RQ5 Spin(7)-结构的变分需满足何种条件，才能确保所得到的度量具有最大全息群且非里奇平坦？

主要发现

• 在 (10,1) 维中，具有平行零旋量场的度量在微分同胚下局部依赖于一个任意的 10 个变量函数。
• 此类度量通常不是里奇平坦的，与非零旋量场情形相反。
• 施加里奇平坦条件后，局部一般性降低为六个 6 个变量的函数，与非零旋量情形一致。
• 1 个参数族的 Spin(7)-结构必须是共形反自对偶的，即 ∂Φ/∂x₃ = λΦ + Υ，其中 Υ 为反自对偶，才能得到解。
• 标准 5-形式 dx₃ ∧ Φ 是闭且平行的，而 dx₃、dx₂ ∧ dx₃ 及其 Hodge 对偶也是平行形式。
• 对于 1 个参数族和函数 g 的一般选择，全息群为零旋量的完整稳定子群，维数为 30。