[论文解读] Pseudo-rotations with sufficiently Liouvillean rotation number are C^0-rigid

Barney Bramham|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了在旋转数属于Liouville数的一个特定处处稠密子集——记为 $\mathcal{L}_*$——的2-盘上的无理伪旋转是 $C^0$-刚性的，即存在某些迭代序列一致收敛于恒等映射。通过伪全纯曲线技巧和 $L^2$ 到 $C^0$ 的估计，作者证明此类系统不可能是混合的，从而解决了光滑遍历理论中零熵哈密顿系统面临的一个关键障碍。

ABSTRACT

It is an open question in smooth ergodic theory whether there exists a Hamiltonian disk map with zero topological entropy and (strong) mixing dynamics. Weak mixing has been known since Anosov and Katok first constructed examples in 1970. Currently all known examples with weak mixing are irrational pseudo-rotations with Liouvillean rotation number on the boundary. Our main result however implies that for a dense subset of Liouville numbers (strong) mixing cannot occur. Our approach involves approximating the flow of a suspension of the given disk map by pseudoholomorphic curves. Ellipticity of the Cauchy-Riemann equation allows quantitative L^2-estimates to be converted into C^0-estimates between the pseudoholomorphic curves and the trajectories of the flow on growing time scales. Arithmetic properties of the rotation number enter through these estimates.

研究动机与目标

• 解决关于是否存在零拓扑熵的保面积盘映射为混合映射的开放问题。
• 研究具有Liouville型旋转数的无理伪旋转的动力学行为。
• 确定Anosov与Katok构造的弱混合例子是否可被提升为强混合。
• 利用辛几何工具刻画高度非Diophantine旋转数系统的动力刚性。

提出的方法

• 使用辛流形中的伪全纯曲线近似盘映射的悬垂流。
• 应用椭圆正则性与 $L^2$-估计，控制伪全纯曲线与流轨道之间的 $C^0$-距离。
• 利用 $\mathcal{L}_*$ 中旋转数的算术性质——通过超指数逼近有理数——来界定误差项。
• 通过周期或半无限圆柱面上的Sobolev型不等式，建立定量的 $L^2$ 到 $C^0$ 嵌入估计。
• 使用截断函数将函数从紧致商 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ 提升到 $\mathbb{R}^2$，并应用嵌入引理。
• 应用Baire纲定理证明 $\mathcal{L}_*$ 在 $\mathbb{R}$ 中处处稠密，从而确保结果适用于一类典型的旋转数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有零拓扑熵的哈密顿盘映射是否可能是混合的？
• RQ2 具有Liouville型旋转数的无理伪旋转是否表现出 $C^0$-刚性？
• RQ3 在旋转数足够Liouville的系统中，是否存在阻碍混合的动力学障碍？
• RQ4 伪全纯曲线技巧能否用于从 $L^2$-估计推导出辛动力系统中的 $C^0$-刚性？
• RQ5 旋转数的算术性质在决定迭代的正则性与收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 所有边界旋转数属于 $\mathcal{L}_*$ 的无理伪旋转都是 $C^0$-刚性，即存在某些迭代 $\varphi^{n_j}$ 一致收敛于恒等映射。
• $\mathcal{L}_*$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个处处稠密子集，意味着该结果适用于一类典型的Liouville数。
• 此类系统不是拓扑混合的，尤其不是关于Lebesgue测度的强混合。
• $C^0$-刚性结果排除了所有旋转数属于 $\mathcal{L}_*$ 的伪旋转的混合动力学，填补了遍历层次中的一个重大空白。
• 证明依赖于 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ 上函数的精确 $L^2$ 到 $C^0$ 估计，且常数与 $n$ 无关。
• 关键分析工具是Sobolev型嵌入不等式，它将 $L^∞$-范数由 $L^2$ 与 $W^{1,∞}$-范数的乘积有界。