[论文解读] Pseudodifferential calculus on a singular foliation

Iakovos Androulidakis, Georges Skandalis|ArXiv.org|Sep 7, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用其holonomy群胚及其相关的C*-代数，在奇异叶状结构上建立了伪微分演算。它在$L^2(M)$上构造了一个拉普拉斯算子，作为正的、无界的、自伴算子，并通过该演算证明了其正则性和椭圆性，从而在紧致流形上建立起完整的指标理论框架。

ABSTRACT

In a previous paper ([1]), we associated a holonomy groupoid and a C*-algebra to any singular foliation (M,F). Using these, we construct the associated pseudodifferential calculus. This calculus gives meaning to a Laplace operator of any singular foliation F on a compact manifold M, and we show that it can be naturally understood as a positive, unbounded, self-adjoint operator on L2(M).

研究动机与目标

• 将伪微分演算扩展到缺乏正则性的奇异叶状结构上，这些结构与正则叶状结构不同。
• 在配备奇异叶状结构的紧致流形上定义纵向拉普拉斯算子。
• 利用群胚和$C^*$-代数框架，证明该拉普拉斯算子是$L^2(M)$上的正的、无界的、自伴算子。
• 建立Sobolev空间的滤子结构，并为负阶和零阶伪微分算子建立$C^*$-代数结构。
• 通过构造一个正则的、椭圆的、正阶算子，为奇异叶状结构上的完整指标理论奠定基础。

提出的方法

• 利用双覆盖和符号在双覆盖的法丛上的振荡积分，构建伪微分演算。
• 通过振荡积分定义核：$k_a(u) = \text{int}_{N^*_{p(u)}} a(p(u),\theta) e^{i\theta \bullet \text{exp}^{-1}(u)} \tilde{\rho}(u) d\theta$，其中$\tilde{\rho}$为截断函数。
• 将伪微分算子的主符号视为余球丛$\mathcal{F}^*$上的齐次函数，该余球丛是一族维数不恒定的向量空间。
• 证明伪微分核定义了$C^*$-代数$C^*(M,\mathcal{F})$的乘子，且此类算子代数按阶数进行滤子化。
• 建立一个正合列：$0 \to C^*(M,\mathcal{F}) \to \Psi^*(M,\mathcal{F}) \to B \to 0$，其中$B$是$C_0(S^*\mathcal{F})$的商代数。
• 将该演算应用于构造拉普拉斯算子$\Delta = \sum X_k^*X_k$，其由$\mathcal{F}$中有限生成的向量场集构成，证明其为纵向椭圆且正则的。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于holonomy群胚缺乏正则性，如何在奇异叶状结构上定义伪微分演算？
• RQ2 是否可以在奇异叶状结构上合理地定义拉普拉斯算子，并证明其在$L^2(M)$上是自伴的？
• RQ3 $C^*$-代数在将伪微分算子实现为乘子的过程中起到什么作用？
• RQ4 在$C^*$-代数框架下，算子的纵向椭圆性如何与它的正则性和可逆性相关联？
• RQ5 Sobolev空间滤子结构和$\Psi^{-\infty}$-演算能否被推广到奇异叶状结构上，以支持指标理论？

主要发现

• 拉普拉斯算子$\Delta = \sum X_k^*X_k$是二阶的纵向椭圆算子，因此定义了$C^*(M,\mathcal{F})$的正则的、无界的、自伴乘子。
• 拉普拉斯算子在$L^2(M)$上诱导出一个自伴算子，其谱在弱等价表示下保持不变，包括自然的$L^2(M)$-表示。
• 负阶伪微分算子属于叶状结构的全$C^*$-代数和约化$C^*$-代数。
• 零阶伪微分算子定义了$C^*$-代数的有界乘子，且代数$\Psi^*(M,\mathcal{F})$嵌入于$C^*(M,\mathcal{F})$与$C_0(S^*\mathcal{F})$之间的正合列中。
• 该演算在复合和拉回下封闭，且主符号仅依赖于符号在$\mathcal{F}^*$上的芽。
• 光滑算子代数$\Psi^{-\infty}(\mathcal{U})$在$\mathcal{A}_{\mathcal{U}}$中稠密，且对纵向椭圆算子$P$，Sobolev空间$H^k(P)$是良好定义的。