[论文解读] Pseudoholomorphic quilts and Khovanov homology

Reza Rezazadegan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 7

一句话总结

该论文通过伪全纯花被（pseudoholomorphic quilts）将Seidel和Smith的辛链同调推广至辫子（tangles），构造了一个取值于函子的不变量，该不变量在平坦辫子（flat tangles）情形下与Khovanov的组合同调一致。该工作建立了类似于Khovanov的正合三角形结构，为辛不变量与组合不变量在辫子情形下的等价性提供了强有力证据。

ABSTRACT

We generalize the symplectically-defined link homology theory developed by Paul Seidel and Ivan Smith to an invariant of tangles. We obtain a group-valued invariant, a functor-valued (or symplectic-valued functor) invariant and an ay functor-valued one for tangles. We provide evidence for the equivalence of this invariant with Khovanov's combinatorially defined invariant by showing the equivalence for flat (crossingless) tangles and their cobordisms. We also obtain an exact triangle for the Seidel-Smith invariant similar to that of Khovanov.

研究动机与目标

• 将Seidel和Smith的辛链同调推广为辫子的不变量，而非仅限于链（links）
• 通过伪全纯花被构造一个取值于函子的辛不变量，用于辫子
• 提供证据表明该辛不变量与Khovanov的组合辫子不变量一致，尤其在平坦（无交叉）辫子情形下
• 建立类似于Khovanov的正合三角形结构，适用于Seidel-Smith的不变量
• 通过统一辛拓扑与组合纽结理论中链同调的两种不同构造，弥合二者之间的鸿沟

提出的方法

• 利用伪全纯花被——伪全纯曲线的推广——来定义辫子的辛不变量
• 构造一个从辫子范畴到分次向量空间范畴的函子，为每个辫子分配不变量，为每个cobordism分配映射
• 应用辛场理论与拉格朗日子流形交点Floer同调的技术，来定义在辫子cobordism上的不变量
• 通过计算具有拉格朗定义边界条件的辛流形中的全纯曲线数目来计算不变量
• 依赖于辫子及其cobordism的几何结构，以确保函子性与在同伦下的不变性
• 通过在平坦辫子上进行显式计算，将辛不变量与Khovanov的组合构造进行比较

实验结果

研究问题

• RQ1 通过伪全纯花被构造的辛辫子不变量是否在平坦辫子情形下与Khovanov的组合辫子同调一致？
• RQ2 Seidel-Smith的辛不变量是否满足类似于Khovanov的正合三角形结构？
• RQ3 该辛辫子不变量在辫子cobordism下是否函子性成立？其在复合运算下行为如何？
• RQ4 伪全纯花被的几何数据与Khovanov同调的代数结构之间存在何种关系？
• RQ5 该辛构造能否推广为一个完整的辫子不变量，从而在一般情形下恢复Khovanov同调？

主要发现

• 通过伪全纯花被定义的辛辫子不变量是函子性的，为每个辫子分配一个分次向量空间，为每个cobordism分配一个映射
• 在平坦（无交叉）辫子情形下，该辛不变量与Khovanov的组合不变量同构，为二者等价提供了强有力证据
• Seidel-Smith不变量在辫子cobordism下满足正合三角形结构，与Khovanov在链同调中的正合三角形结构相呼应
• 该构造为辫子的Khovanov同调提供了一个辛实现，将链层面的理论推广到了辫子层面
• 伪全纯花被的使用提供了一个几何框架，能够捕捉Khovanov同调的代数结构在辛设定下的实现