[论文解读] Pseudohomology and homology

Peter J. Kahn|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文引入伪同调群作为伪循环的 bordism 理论，证明其满足 Eilenberg-Steenrod 公理，并在光滑紧致流形对上自然同构于奇异同调。关键贡献在于构造了一个从奇异同调到伪同调的典范自然变换，该变换在具有有限胞状分解的对上为同构，但无法延拓至非紧致流形，揭示了在非紧致情形下同调与伪同调之间存在根本性差异。

ABSTRACT

The notion of a pseudocycle is introduced by McDuff and Salamon (J-holomorphic curves and quantum cohomology, University Lecture Series, Vol. 6, AMS (1994)) to provide a framework for defining Gromov-Witten invariants and quantum cohomology. This paper studies the bordism groups of pseudocycles, called pseudohomology groups. These are shown to satisfy the Eilenberg-Steenrod axioms. For smooth compact manifold pairs, it is proved that pseudohomology is naturally equivalent to homology. Easy examples show that this equivalence does not extend to the case of non-compact manifolds.

研究动机与目标

• 定义并研究光滑流形对中的伪同调群作为伪循环的 bordism 理论。
• 建立伪同调满足 Eilenberg-Steenrod 公理，包括同伦不变性、正合性、局部化公理和维数公理。
• 构造一个从奇异同调到伪同调的自然变换，该变换在具有有限胞状分解的对上为同构。
• 证明该同构无法延拓至非紧致流形，揭示了此类情形下同调与伪同调之间的根本结构性差异。
• 阐明伪同调与经典 bordism 之间的关系，表明与基本类映射的复合保持交配对。

提出的方法

• 将伪同调群 Ψₖ(X,A) 定义为光滑流形对 (X,A) ∈ ℂ 中相对 k-伪循环的 bordism 类。
• 证明映射 (X,A) ↦ Ψₖ(X,A) 满足 Eilenberg-Steenrod 公理，包括一个典范同构 Ψₖ(pt) ≅ Hₖ(pt)。
• 通过光滑逼近和角点光滑化，构造一个自然变换 ψ: Hₖ(X,A) → Ψₖ(X,A)，将每个相对奇异链映射到一个代表伪循环。
• 利用光滑逼近定理的相对版本（引理 E.4）以确保构造尊重边界与子复形结构。
• 应用微分拓扑学结果，包括管状邻域和带角流形上的测地线同伦，构造相近逼近之间的同伦。
• 通过其与经典 bordism 基本类映射的相容性，证明变换 ψ 保持交配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪同调是否满足 Eilenberg-Steenrod 公理？若满足，在紧致情形下其与奇异同调的关系如何？
• RQ2 是否存在一个从奇异同调到伪同调的自然变换，且在具有有限胞状分解的紧致对上为同构？
• RQ3 为何同调与伪同调之间的自然同构无法延拓至非紧致流形？
• RQ4 伪同调能否检测与同调相同的拓扑不变量，特别是交配对方面？
• RQ5 伪同调是否与无限直积交换？这对非紧致空间有何后果？

主要发现

• 伪同调群 Ψₖ 满足所有 Eilenberg-Steenrod 公理，包括典范同构 Ψₖ(pt) ≅ Hₖ(pt)。
• 存在一个自然变换 ψ: Hₖ(X,A) → Ψₖ(X,A)，其与边界映射可交换，且在具有有限胞状分解的对的全子范畴 ℂₚʳᵒᵖₕᵃⁿ𝒹 上为同构。
• 在 ℂₚʳᵒᵖₕᵃⁿ𝒹 上，该自然变换 ψ 是唯一满足 ψ: Hₖ(pt) → Ψₖ(pt) 为典范同构的同构。
• 对于非紧致、连通、可定向且边界为空的流形，不存在从 Hₖ(X) 到 Ψₖ(X) 的满同态，表明存在根本性障碍，导致同构无法成立。
• 当 X 为紧致时，不存在从 Hₖ(X×ℝ) 到 Ψₖ(X×ℝ) 的单射自然变换，表明伪同调不与无限直积交换。
• 变换 ψ 保持交配对：对互补维数的同调类有 α·β = ψ(α)·ψ(β)，这是由于其与经典 bordism 的基本类映射相容。