[论文解读] Pseudolocality for the Ricci flow and applications

Albert Chau, Luen-Fai Tam+1 more|ArXiv.org|Jan 5, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 17

一句话总结

该论文在具有有界曲率且在无穷远处曲率趋于零的完备非紧黎曼流形上，建立了伪局部性（pseudolocality）和李-姚-哈密顿（Li-Yau-Hamilton, LYH）型不等式。利用这些估计，证明了有限时间奇点必须局限于紧致集合内，并将凯勒-里奇流的长时间存在性结果推广至具有非负全纯双截面曲率且渐近平坦几何的完备非紧凯勒流形上。

ABSTRACT

In \cite{P1}, Perelman established a differential Li-Yau-Hamilton (LYH) type inequality for fundamental solutions of the conjugate heat equation corresponding to the Ricci flow on compact manifolds (also see \cite{N2}). As an application of the LYH inequality, Perelman proved a pseudolocality result for the Ricci flow on compact manifolds. In this article we provide the details for the proofs of these results in the case of a complete non-compact Riemannian manifold. Using these results we prove that under certain conditions, a finite time singularity of the Ricci flow must form within a compact set. We also prove a long time existence result for the \KRF flow on complete non-negatively curved \K manifolds.

研究动机与目标

• 将佩雷尔曼关于伪局部性和李-姚-哈密顿（LYH）不等式的结果，从紧致流形推广至完备非紧黎曼流形。
• 建立有限时间奇点在里奇流中仅局限于紧致子集的条件。
• 证明在具有非负全纯双截面曲率且在无穷远处曲率趋于零的完备非紧凯勒流形上，凯勒-里奇流存在长时间解。
• 利用梯度估计与基本解界，推广现有关于曲率衰减与流延拓的结果。

提出的方法

• 推导了在完备非紧流形上与里奇流相关的共轭热方程的梯度估计与基本解界。
• 在有界曲率与渐近平坦性条件下，为共轭热方程的基本解建立了微分形式的LYH不等式。
• 应用LYH不等式证明伪局部性：高曲率区域无法立即影响近乎欧几里得的区域。
• 利用伪局部性证明：若里奇流在有限时间内出现奇点，则曲率仅在紧致集上爆破。
• 结合无穷远处的曲率衰减、体积增长与标量曲率积分估计，控制凯勒-里奇流的长时间行为。
• 将凯勒-里奇流提升至万有覆盖空间，利用体积增长与标量曲率衰减，对体积比的对数进行有界控制，确保一致控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 佩雷尔曼关于里奇流的伪局部性与LYH不等式结果能否推广至完备非紧黎曼流形？
• RQ2 在非紧流形上，里奇流的有限时间奇点在何种条件下仅发生于紧致集合内？
• RQ3 在具有非负全纯双截面曲率且在无穷远处曲率趋于零的完备非紧凯勒流形上，凯勒-里奇流是否具有长时间解？
• RQ4 能否利用无穷远处的曲率衰减与体积增长估计来控制体积比的对数并确保长时间存在性？
• RQ5 万有覆盖空间与全纯分裂在证明凯勒-里奇流长时间存在性中起什么作用？

主要发现

• 伪局部性定理在完备非紧流形上成立：若里奇流在有限时间内出现奇点，则曲率爆破局限于紧致集。
• 在假设 |Rm|(x) → 0 当 x → ∞ 且测地线半径远离零的条件下，里奇流或全局存在，或奇点具有紧支集。
• 若定理1.1中 T < ∞，则 Rm(x,t) → 0 当 x → ∞ 且在 t ∈ [0,T) 上一致成立，即曲率随时间在无穷远处一致衰减。
• 对于具有非负全纯双截面曲率且满足 |Rm|(x) → 0 当 x → ∞ 的完备非紧凯勒流形，凯勒-里奇流在所有时间 t ∈ [0, ∞) 上存在。
• 体积比的对数 F(x,t) = log(det g(x,t)/det g(x,0)) 在 M × [0,T) 上有上界，这意味着曲率一致有界，从而可将解延拓至 T 之后。
• 证明依赖于万有覆盖空间上的体积增长估计与标量曲率衰减，表明 −F(x,t) 通过涉及 ∫s/(1+s) ds 的积分估计被有界控制，从而控制体积比的增长。